Analysis II für Mathematiker

und wir haben erhalten, dass∫∫ ∫∫H ·d⃗σ =H ·N dσ = 4πr 3 .∂G∂GAndererseits ist divH = 3, so dass mit dem Volumen V der Kugel G gilt∫∫∫ ∫∫∫(divH)(x)dx = 3 dx = 3V.GGDer Gaußsche Satz liefert nach GleichsetzenV = 4 3 πr3 .Folgerung 14.9 (Partielle Integration in R 3 ) Sei G ⊆ R 3 ein C 1 -Normalbereichund f,g : G → R seien stetig differenzierbare Funktionen. Weiter seiN = (N 1 ,N 2 ,N 3 ) : ∂G → R das äußere Normalenfeld an G. Dann gilt füri = 1,2,3∫∫∫Gf ∂g ∫∫∫dx = −∂x iG∫∫∂fgdx+∂x iBeweis Sei z.B. i = 1. Für die stetig differenzierbare Funktionist∂GfgN i dσ. (14.16)F : G → R 3 , F(x) = ( f(x)g(x),0,0) (14.17)divF = ∂(fg)∂x 1= ∂f∂x 1g +f ∂g∂x 1und F · N = fgN 1 . Die Behauptung folgt also sofort, wenn man die Funktion(14.17) in den Gaußschen Integralsatz (14.15) einsetzt.G∂GAnmerkung 1 Wir haben in Satz 14.8 und Folgerung 14.9 statt ∫ und ∫ die G ∂GSchreibweisen ∫∫∫und ∫∫benutzt, um deutlich zu machen, dass (dreidimensionale)Volumenintegrale und (zweidimensionale) Oberflächenintegrale auftreten.Anmerkung 2 Sind F 1 ,...,F n Flächenstücke, die sich nicht überlappen, so definiertman das Flächenintegral über F = F 1 ∪...∪F n durch∫ ∫= +...+F F 1∫Dies haben wir im Beweis des Gaußschen Satzes benutzt (∂G = S 1 ∪S 2 ∪S 3 ).F n.286