Analysis II für Mathematiker

13.5 Inhalt von OrdinatenmengenNachdem wir nun wissen, dass Kreise im R 2 Jordan-messbar sind, möchten wirnun auch den Flächeninhalt von Kreisen berechnen. Allgemeiner geht es darum,Jordan-Inhalte so genannter Ordinatenmengen zu bestimmen. Die OrdinatenmengeM(f) einer Funktion f : R n ⊇ B → R + ist die MengeM(f) := {(x,y) ∈ R n ×R : x ∈ B, 0 ≤ y ≤ f(x)}.R✻Graph von f.... . .. .. . . . ... . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . . ... .. . ... . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .} {{ }B..M(f)Im Fall B = [a,b] ⊆ R 1 haben wir als Flächeninhalt von M(f) definiert:Inhalt von M(f) :=∫ baf(x)dx.Wir zeigen nun, dass der so definierte Flächeninhalt mit dem Jordanschen Inhaltvon M(f) übereinstimmt.Satz 13.32 Sei B ⊆ R n Jordan-messbar, f : B → R Riemann-integrierbar undf ≥ 0. Dann ist die Menge M(f) ⊆ R n+1 Jordan-messbar, und es gilt∫|M(f)| = f dx.Beweis Wir beweisen zuerst die Jordan-Messbarkeit von M(f). Dazu müssenwir zeigen, dass ∂M(f) eine Nullmenge im R n+1 ist.Sei S := sup x∈B f(x). Ein Punkt (x,y) ∈ R n × R liegt sicher im Inneren vonM(f), wenn x im Inneren von B liegt, 0 < y < f(x) ist, und f in x stetig ist.Also ist ∂M(f) sicher in der Vereinigung der folgenden Mengen enthalten:A 1 = {(x,0) : x ∈ B},A 2 = { ( x,f(x) ) : x ∈ B},A 3 = {(x,y) : x ∈ ∂B, 0 ≤ y ≤ S},A 4 = {(x,y) : x ∈ B, f in x unstetig, 0 ≤ y ≤ S}.259B✲R n