Analysis II für Mathematiker

Sei g = ∑ kn=0 c nu n . Dann ist‖f −k∑c n u n ‖ 2 2 = ‖f −g‖ 2 2 = 〈f −g,f −g〉 = ‖f‖ 2 2 −2〈f,g〉+〈g,g〉.n=0Für die Skalarprodukte finden wir〈f,g〉 = 〈f,〈g,g〉 = 〈k∑c n u n 〉 =n=0k∑c n u n ,n=0k∑m=0k∑c n 〈f,u n 〉 =n=0c m u m 〉 =k∑n=0k∑m=0k∑|c n | 2 ,n=0c n c m 〈u n ,u m 〉 =k∑|c n | 2 ,womit (9.17) sofort folgt. Da ‖f −g‖ 2 2 ≥ 0, folgt aus (9.17) die Behauptung.Folgerung 9.27 Die Fourierreihe ∑ ∞n=0 c nu n von f konvergiert genau dann imquadratischen Mittel gegen f, wenn∞∑|c n | 2 = ‖f‖ 2 2. (9.18)n=0Dies folgt sofort aus (9.17). Die Beziehung (9.18) heißt Parsevalsche Gleichung.Satz 9.28 Sei f : R → R 2π–periodisch und Riemann-integrierbar auf [0,2π],und sei (u n ) das spezielle Orthonormalsystem (9.16). Dann konvergiert die Fourierreihevon f im quadratischen Mittel gegen f.Die Konvergenz der Fourierreihe gegen f im quadratischen Mittel gilt also ohneeinschränkende Voraussetzungen an f und ist deshalb eine “sehr natürliche”Konvergenzart für Fourierreihen. Dafür ist sie schwächer als die gleichmäßigeKonvergenz.Beweis 1. Schritt Sei 0 ≤ a < 2π. Wir zeigen die Aussage für die Funktion{1 wenn x ∈ [0,a]f(x) =0 wenn x ∈ (a,2π].Offenbar ist ‖f‖ 2 2 = ∫ a0c 0 = 〈f,u 0 〉 = 〈f,dx = a, und für die Fourierkoeffizienten gilt1√2π〉 = 1 √2π∫ ac 2n = 〈f,u 2n 〉 = 〈f, cosnx √ π〉 = 1 √ π∫ ac 2n−1 = 〈f,u 2n−1 〉 = 〈f, sinnx √ π〉 = 1 √ π∫ a00177dx = a √2π,0cosnxdx = sinnxn √ π∣∣ a 0sinnxdx = −cosnxn √ πn=0= sinnan √ π ,∣∣ a 0= 1−cosnan √ π.