Analysis II für Mathematiker

14.7.3 ProduktregelnDie Vektorfelder F, G und die Skalarfelder ϕ, ψ seien stetig differenzierbar. Danngelten z.B. die folgenden Produktregeln, die man leicht nachrechnet:grad(ϕψ) = ϕgradψ +ψgradϕ, (14.32)div(ϕF) = ϕdivF +F ·gradϕ, (14.33)rot(ϕF) = ϕrotF +gradϕ×F, (14.34)div(F ×G) = G ·rotF −F ·rotG. (14.35)Weitere Beziehungen finden Sie in der Literatur.14.7.4 Die Greenschen FormelnEs sei G wie im Gaußschen Integralsatz im Raum (Satz 14.8), und f,g : G → Rseien so oft stetig differenzierbar, wie es die folgenden Formeln verlangen. AusFormel (14.33) (mit F = gradg) erhalten wirdiv(fgradg) = f∆g +gradf ·gradg,wobei wir noch (14.31) benutzt haben. Integration über G und Anwendung desGaußschen Integralsatzes auf der linken Seite liefern∫∫ ∫∫∫fgradg ·N dσ = (f∆g +gradf ·gradg)dx∂Gmit dem äußeren Normalenvektor N an ∂G. Mit der RichtungsableitungG∂g= gradg ·N∂N(vgl. Abschnitt 10.4) erhalten wir die erste Greensche Integralformel∫∫f ∂g ∫∫∫∂N dσ = (f∆g +gradf ·gradg)dx. (14.36)∂GGVertauscht man hierin f mit g und subtrahiert die erhaltene Formel von (14.36),so erhält man die zweite Greensche Integralformel∫∫ (f ∂g ) ∫∫∫∂f−g dσ = (f∆g −g∆f)dx. (14.37)∂N ∂N∂GIm Spezialfall g = 1 folgt hieraus∫∫ ∫∫∫∂f∂N dσ = ∆fdx. (14.38)∂GMankannRaumintegraleüberLaplacescheDifferentialausdrücke∆f alsoinFlächenintegraleumschreiben. Die Greenschen Formeln sind außerordentlich nützlichbeim Studium von partiellen Differentialgleichungen.GG297