Analysis II für Mathematiker

Sei Z eine gemeinsame Verfeinerung von Z 1 und Z 2 . Dann ist nach Lemma 8.5(a) U(Z 1 ,f) ≤ U(Z,f) sowie O(Z,f) ≤ O(Z 2 ,f) und folglichJ −U(Z,f) < ε/2 und O(Z,f)−J < ε/2.Addition dieser Ungleichungen ergibt O(Z,f)−U(Z,f) < ε.DerZusammenhangzwischenRiemann–undDarboux–Integrierbarkeitwirddurchfolgenden Satz hergestellt.Satz 8.8 Eine beschränkte Funktion f : [a,b] → R ist genau dann Riemann–integrierbar, wenn sie Darboux–integrierbar ist. In diesem Fall gilt∫ b ∫ b ∫ ∗bf(x)dx = f(x)dx = f(x)dx.a∗aBeweis (=⇒) Sei f Darboux–integrierbar und (S(Z n ,ξ (n) ,f)) eine Riemann–Folge für f. Für alle n ∈ N ist dannaU(Z n ,f) ≤ S(Z n ,ξ (n) ,f) ≤ O(Z n ,f). (8.3)Nach Satz 8.6 konvergieren die linke Seite von (8.3) für n → ∞ gegen ∫ bf(x)dx ∗a und die rechte Seite gegen ∫ ∗bf(x)dx, und diese Grenzwerte sind gleich. Dannamuss∫aber auch die Riemann–Folge konvergieren, und ihr Grenzwert stimmt mitbf(x)dx überein (Satz 4.2). Also ist f Riemann–integrierbar.∗a (⇐=) Sei f Riemann–integrierbar und ε > 0 beliebig vorgegeben. Wir konstruierenzwei spezielle Riemann–Folgen für f wie folgt: Z n sei die Zerlegung von [a,b]in n Intervalle gleicher Länge, und ξ i,ξ ′ i ′′ ∈ [x i ,x i+1 ] seien so gewählt, dasssup f(x)−f(ξ ′ εi)