Analysis II für Mathematiker

ei x 3 : A 1 +B = 1bei x 2 : A 2 −2B +C = 0bei x 1 : A 2 +B −2C = 1bei x 0 : A 2 −A 1 +C = 0.Die Lösung dieses Gleichungssystems ist A 1 = 2, A 3 2 = 2, B = 1 , C = 0. Die zu3 3integrierende Funktion ist alsox 4 +1x 4 −x 3 −x+1 = 1+ 2 34. Schritt: Integration1x−1 + 2 31(x−1) 2 + 1 3xx 2 +x+1 .∫x 4 ∫+1x 4 −x 3 −x+1 dx =1dx+ 2 ∫dx3 x−1 + 2 ∫3+ 1 ∫xdx3 x 2 +x+1= x+ 2 3 ln|x−1|− 2 3− 13 √ 3arctan2x+1√3+C.dx(x−1) 21x−1 + 1 6 ln(x2 +x+1)8.10 Uneigentliche IntegraleBisher haben wir ausschließlich beschränkte Funktionen auf kompakten Intervallenintegriert. Durch naheliegende Grenzprozesse erweitern wir nun die Definitiondes Riemann-Integrals zu sogenannten uneigentlichen Integralen.8.10.1 Integrale mit unbeschränktem IntegrationsintervallDie Funktion f : [a,∞) → R sei jedem Intervall [a,t] mit t > a Riemannintegrierbar.Wenn der Grenzwert∫ tlim f(x)dx (8.24)t→∞aexistiertundendlichist,sobezeichnenwirihnmit ∫ ∞f(x)dxundnennenihnuneigentlichesRiemann-Integral von f. Man sagt auch, dass f auf [a,∞) Riemann-aintegrierbar ist oder dass ∫ ∞f(x)dx konvergiert. Ist der Grenzwert (8.24) unendlichoderexistierternicht,heißt∫ ∞f(x)dxdivergent.Schließlichheißt∫ ∞f(x)dxa aaabsolut konvergent, wenn ∫ ∞|f(x)|dx konvergiert. Wie bei Reihen folgt aus dera148