Analysis II für Mathematiker

An der Stelle (x,y) = (0,0) arbeiten wir mit Definition 10.6:f x (0,0) = limh→0f(h,0)−f(0,0)h= 0.Analog ist f y (0,0) = 0. Also ist f auf ganz R 2 partiell differenzierbar. Manbeachte, dass f in (0,0) nicht stetig ist! Es ist nämlich( 1fn n), 1 = (1/n2 )(2/n 2 ) = n2→ ∞ für n → ∞.2 4Dieses Beispiel zeigt, dass aus der partiellen Differenzierbarkeit nicht die Stetigkeitfolgt. Später werden wir sehen, dass dagegen aus der stetigen partiellenDifferenzierbarkeit die Stetigkeit folgt.Ist f : U → R partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen∂f∂x i= D i f : U → R wieder partiell differenzierbar, so heißt f zweimal partielldifferenzierbar, und wir schreiben ∂2 f∂x j ∂x i= D j D i f = f xi x jfür die partielle Ableitungvon ∂f∂x inach x j . Allgemein heißt f k–mal partiell differenzierbar (k ≥ 2)wenn f (k−1)–mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen derOrdnung k−1 partiell differenzierbar sind. Schließlich heißt f k–mal stetig partielldifferenzierbar, wenn f k–mal partiell differenzierbar ist und alle partiellenAbleitungen bis zur k. Ordnung stetig sind.Beispiel 3 Wir erklären f : R 2 → R durch f(0,0) = 0 undFür alle Punkte (x,y) ≠ (0,0) istf(x,y) = xy x2 −y 2x 2 +y 2 für (x,y) ≠ (0,0).f x (x,y) = y x4 −y 4 +4x 2 y 2(x 2 +y 2 ) 2 , f y (x,y) = x x4 −y 4 −4x 2 y 2(x 2 +y 2 ) 2 ,und für (x,y) = (0,0) istf x (0,0) = limh→0f(h,0)−f(0,0)h= 0 und f y (0,0) = 0.Für die gemischten zweiten Ableitungen in (0,0) finden wir schließlichf x (0,h)−f x (0,0)f xy (0,0) = limh→0 hf y (h,0)−f y (0,0)f yx (0,0) = limh→0 h−h−0= limh→0 hh−0= limh→0 h= −1,= 1.(10.8)Die Reihenfolge der partiellen Ableitungen darf also i. Allg. nicht vertauschtwerden. Der folgende Satz gibt Bedingungen an, die dieses Vertauschen erlauben.185