Analysis II für Mathematiker

Jede Doppelfolge (a mn ) erzeugt eine Doppelfolge (s mn ) durchs mn =m∑j=0n∑a jk .k=0WenndieDoppelfolge(s mn )gegenskonvergiert,soheißtdieDoppelreihe ∑ ∞j,k=0 a jkkonvergent, und man schreibt s = ∑ ∞j,k=0 a jk. Durch Übertragung von Satz 9.17erhält man sofort das folgende Resultat.Satz 9.18 Die Doppelreihe ∑ ∞j,k=0 a jk sei konvergent, und für jedes j bzw. ksollen die Reihen ∑ ∞k=0 a jk bzw. ∑ ∞j=0 a jk konvergieren. Dann konvergieren auchdie iterierten Reihen ∑ ∞ ∑ ∞j=0 k=0 a jk bzw. ∑ ∞ ∑ ∞k=0 j=0 a jk, und es gilt∞∑j=0∞∑a jk =k=0∞∑k=0∞∑ ∞∑a jk = a jk . (9.9)j=0 j,k=0Hieraus folgt leicht der wichtige Doppelreihensatz von Cauchy.∑ ∞k=0 a jk bzw. ∑ ∞k=0∑ ∞j=0 a jkSatz 9.19 Ist eine der iterierten Reihen ∑ ∞j=0absolut konvergent (d.h. konvergiert sie auch noch, wenn a jk durch |a jk | ersetztwird), dann sind auch die andere iterierte Reihe sowie die Doppelreihe ∑ ∞j,k=0 a jkabsolut konvergent, und es gilt (9.9).Beweis Sei z.B. ∑ ∞ ∑ ∞j=0 k=0 |a jk| konvergent mit der Summe a. Dann ist jedeReihe ∑ ∞k=0 a jk absolut konvergent, und wegen ∑ m ∑ nj=0 k=0 |a jk| ≤ a konvergiertauch die Doppelreihe absolut. Gleiches gilt wegen ∑ m∑ j=0 |a jk| ≤ a für jede Reihe∞j=0 |a jk|. Aus Satz 9.18 folgt nun die Behauptung.Beweis von Satz 9.16 Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei a 0 = 1. NachSatz 6.19 gibt es ein δ ∈ (0,R), so dass |a 1 z+a 2 z 2 +...| < 1 für alle |z| < δ. Fürdiese z ist (geometrische Reihe!)∞1f(z) = 11−(−a 1 z −a 2 z 2 −...) = ∑(−a 1 z −a 2 z 2 −...) j .Cauchymultiplikation ergibtj=0(−a 1 z −a 2 z 2 −...) j =∞∑a jk z k für j = 0,1,2,...k=0mit gewissen Koeffizienten a jk . Es ist also∞1f(z) = ∑j=0169∞∑a jk z k .k=0