Analysis II für Mathematiker

Satz 10.9 Sei U ⊆ R n offen und f = (f 1 ,...,f m ) T : U → R m in x ∈ U differenzierbar.Dann ist jede Funktion f i : U → R in x partiell differenzierbar, und dieMatrixdarstellung von A ∈ L(R n ,R m ) aus (10.12) bezüglich der Standardbasenvon R n bzw. R m ist⎛A =⎜⎝∂f 1∂x 1(x) ....∂f m∂x 1(x) ...∂f 1∂x n(x).∂f m∂x n(x)⎞. (10.13)⎟⎠Die Abbildung A in (10.12) ist also eindeutig bestimmt. Sie heißt Ableitung vonf in x und wird mit (Df)(x) oder f ′ (x) bezeichnet. Die Matrix (10.13) heißtJacobi–Matrix von f in x und wird oft mit J f (x) bezeichnet.Beweis Esgelte(10.12)mitA = (a ij ) mni,j=1 undr = (r 1 ,...,r m ) T ,h = (h 1 ,...,h n ) T .Mit diesen Bezeichnungen gilt für jedes i = 1,...,mf i (x+h) = f i (x)+n∑a ij h j +r i (h) ∀h ∈ W, (10.14)j=1wobei lim h→0r i (h)‖h‖= 0. Letzteres folgt aus |r i | ≤ ‖r‖ ∞ . Wir fixieren nun ein jzwischen 1 und n und wählen h = (0,...,0,h j ,0,...,0) = h j e j . Für hinreichendkleine h j liegen diese Vektoren in W, und (10.14) reduziert sich aufworaus folgtf i (x+h j e j ) = f i (x)+a ij h j +r i (h),f i (x+h j e j )−f i (x)h j= a ij + r i(h)h jfür h j ≠ 0.Wegen |h j | = ‖h‖ können wir h j → 0 streben lassen und bekommen∂f i∂x j(x) = limhj →0f i (x+h j e j )−f i (x)h j= a ij .Satz 10.10 Sei U ⊆ R n offen und f : U → R m in x ∈ U differenzierbar. Dannist f in x stetig.Beweis Da lineare Abbildungen von R n nach R m stetig sind (Satz 10.4) und0 in 0 überführen, geht die rechte Seite von (10.12) für h → 0 gegen f(x). Alsoexistiert lim h→0 f(x+h) und ist gleich f(x).Satz 10.11 Sei U ⊆ R n offen und f : U → R m in x ∈ U stetig partiell differenzierbar.Dann ist f in x differenzierbar.189