Analysis II für Mathematiker

stetig. Außerdem konvergiert das Integral ∫ ∞ ∫ df(x,y)dydx, und es gilta c∫ d ∫ ∞caf(x,y)dxdy =∫ ∞ ∫ dacf(x,y)dydx.(b) Sei f : [a,∞) × [c,d] → R stetig, beschränkt und nach y partiell differenzierbar,die Ableitung ∂f sei auf [a,∞)×[c,d] stetig und beschränkt, das Integral∫∂y∞ ∂f(x,y)dx sei gleichmäßig konvergent, und das Integral ∫ ∞f(x,c)dx konvergiere.Dann konvergiert das Integral ∫ ∞a ∂y af(x,y)dx für jedes y ∈ [c,d], dieaFunktion (10.23) ist differenzierbar, undϕ ′ (y) =∫ ∞a∂f∂y (x,y)dx.Beweis (a) Für alle y,y +h ∈ [c,d] und b ≥ a istϕ(y +h)−ϕ(y) ==∫ ba∫ ∞a( )f(x,y +h)−f(x,y) dx+( )f(x,y +h)−f(x,y) dx (10.24)∫ ∞bf(x,y +h)dx−∫ ∞bf(x,y)dx.Sei ε > 0. Wir wählen b so groß, dass der Betrag der letzten beiden Integralein (10.24) jeweils kleiner als ε/3 wird (gleichmäßige Konvergenz!). Weiter wissenwir aus Satz 10.28, dass y ↦→ ∫ bf(x,y)dx eine stetige Funktion ist, und daherawird auch das erste Integral in (10.24) kleiner als ε/3, wenn nur h hinreichendklein ist, etwa für h ≤ h 0 . Für alle h ≤ h 0 ist also|ϕ(y +h)−ϕ(y)| < ε.Für die zweite Aussage von (a) sei wieder ε > 0. Wir wählen b 0 ≥ a so, dass∣∫ ∞af(x,y)dx−∫ b(gleichmäßige Konvergenz!). Integrieren liefert∣∫ d ∫ ∞caaf(x,y)dx∣ < ε für alle y ∈ [c,d] und b ≥ b 0f(x,y)dxdy −∫ d ∫ bcaf(x,y)dxdy∣ < ε(d−c).Mit Satz 10.29 vertauschen wir die Integrationsreihenfolge im 2. Integral underhalten∫ d ∫ ∞ ∫ b ∫ d∣ f(x,y)dxdy − f(x,y)dydx∣ < ε(d−c).caDa dies für jedes b ≥ b 0 gilt, folgt die Behauptung.ac207