Analysis II für Mathematiker

wobei wir in der dritten Zeile die Kettenregel benutzt haben. Nach Satz 14.11(Greenscher Integralsatz) ist dieses Integral gleich∫ (rot (P ◦F) ∂F 1, (P ◦F) ∂F )1(x)dx. (14.27)∂x 1 ∂x 2DWir berechnen die skalare (zweidimensionale) Rotation nach (14.21)(rot (P ◦F) ∂F 1, (P ◦F) ∂F )1∂x 1 ∂x 2= ∂ ((P ◦F) ∂F )1− ∂ ((P ◦F) ∂F )1∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 1=∂(P ◦F)∂x 1∂F 1∂x 2−∂(P ◦F)∂x 2∂F 1∂x 1+(P ◦F)( ) ∂ 2 F 1− ∂2 F 1,∂x 2 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2wobei wir die Produktregel benutzt haben. Der letzte Summand ist nach demSatz von Schwarz gleich 0. Mit der Kettenregel erhalten wir für die ersten beidenSummanden( ∂P ∂F 1+ ∂P ∂F 2+ ∂P )∂F 3 ∂F1−∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 3 ∂x 1 ∂x 2−( ∂P∂x 1∂F 1∂x 2+ ∂P∂x 2∂F 2∂x 2+ ∂P∂x 3∂F 3∂x 2) ∂F1∂x 1= ∂P ( ∂F3 ∂F 1− ∂F )3 ∂F 1− ∂P ( ∂F1 ∂F 2− ∂F )2 ∂F 1.∂x 3 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2(∂F 1∂x 1, ∂F 2∂x 1, ∂F 3(∂F 1∂x 2, ∂F 2∂x 2, ∂F 3∂x 2), d.h. N =Sei n = (n 1 ,n 2 ,n 3 ) = ∂F∂x 1× ∂F∂x 2=∂x 1)×n/‖n‖ ist der Normaleneinheitsvektor zu F (vgl. (14.6)). Nach Definition desVektorprodukts istn 2 = ∂F 3∂x 1∂F 1∂x 2− ∂F 3∂x 2∂F 1∂x 1und n 3 = ∂F 1∂x 1∂F 2∂x 2− ∂F 2∂x 1∂F 1∂x 2und damit zusammengefasst(rot (P ◦F) ∂F 1, (P ◦F) ∂F )1= ∂P n 2 − ∂P n 3 . (14.28)∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 2Wegen rotH = rot(P,0,0) T =rot(0, ∂P∂x 3, − ∂P∂x 2) Tkönnen wir (14.28) schreiben als((P ◦F) ∂F 1, (P ◦F) ∂F )1= ( (rotH)◦F )·n.∂x 1 ∂x 2293