xxiii πανελληνιο ÏƒÏ Î½ÎµÎ´ÏÎ¹Î¿ Ï†Ï ÏƒÎ¹ÎºÎ·Ï‚ στερεας καταστασης & επιστημης ...

Αλληλεπίδραση Συµπυκνώµατος Bose-Einstein µε Θερµικό Νέφος:
Θεωρητική Περιγραφή, Ιδιότητες & Εφαρµογές
Ν.Π. Προυκάκης 1* , B. Jackson 1 , C.F. Barenghi 1 , and H.T.C. Stoof 2
1 School of Mathematics & Statistics, Newcastle University, Merz Court, Newcastle NE1 7RU, United Kingdom
2 Institute for Theoretical Physics, Utrecht University, Utrecht, The Netherlands
*Nikolaos.Proukakis@ncl.ac.uk
Σε πολύ χαµηλές θερµοκρασίες, της τάξεως των 100 nK, αραιά διαλύµατα µποζονικών ατοµικών αερίων, παγιδευµένα
σε οπτικές ή µαγνητικές παγίδες, εµφανίζουν το φαινόµενο της Συµπύκνωσης Bose-Einstein. Το φαινόµενο αυτό,
γνωστό ήδη από το 1924, προβλέπει ότι συστήµατα αραιών αερίων υπόκεινται µία µεταβολή φάσεως, σε κάποια
συγκεκριµένη αρκετά χαµηλή ‘κρίσιµη’ θερµοκρασία Tc, η οποία οδηγεί σε συλλογική συµπεριφορά. Η συµπύκνωση
Bose-Einstein σχετίζεται µε το φαινόµενο της υπερρευστότητας του υγρού Ηλίου που εµφανίζεται σε θερµοκρασιές
µικρότερες των περίπου 2Κ, ενώ εµφανίζει πολλές αντιστοιχίες µε το φαινόµενο της υπεραγωγιµότητας. Το υγρό
µποζονικό Ήλιο 4 He αποτελεί ένα πολύ ενδιαφέρον κβαντικό σύστηµα, το οποίο παραµένει υγρό µέχρι το απόλυτο
µηδέν (T = 0 K). Στο σύστηµα αυτό, τα άτοµα εµφανίζουν αρκετά ισχυρές αλληλεπιδράσεις, εξαιτίας των οποίων,
µόλις το 10% των ατόµων βρίσκεται στο ‘Συµπύκνωµα Bose-Einstein’ ακόµα και σε θερµοκρασία T = 0, παρά το
γεγονός ότι σε αυτήν τη θερµοκρασία, όλα τα άτοµα του συστήµατος ‘ανήκουν’ στο υπερρευστό. Συνεπώς η
λεπτοµερής µικροσκοπική θεωρητική µελέτη αυτών των συστηµάτων καθιστάται αρκετά δύσκολη, και τα συστήµατα
αυτά περιγράφονται µε φαινοµενολογικές µεθόδους.
Σε αντίθεση µε το υγρό Ήλιο, αραιά (πυκνότητα n < 10^(14) άτοµα / cm^3) παγιδευµένα ατοµικά αέρια (συνήθως
µποζονικά αλκάλια όπως Νάτριο – 23 Na – και Ρουβίδιο – 87 Rb) συµπεριφέρονται, σε πολύ χαµηλές θερµοκρασίες και
για σχετικά µικρό χρονικό διάστηµα, ως ασθενώς-αλληλεπιδρόντα αέρια, επιτρέποντας συνεπώς την ΄καθαρή΄ µελέτη
φαινοµένων κβαντικής στατιστικής, και των ιδιότητων της συµπύκνωσης Bose-Einstein. (Τα συστήµατα αυτά τελικώς
περνούν στην στερεά κατάσταση σε θερµοδυναµική ισορροπία.) Η µελέτη αυτών των συστηµάτων υπέστει ραγδαία
εξέλιξη µετά την πρώτη πειραµατική επίτευξη αυτού του φαινοµένου σε ασθενώς-αλληλεπιδρόντα αέρια το 1995, που
οδήγησε στην απονοµή του βραβείου Nobel Φυσικής το 2001 στους E. Cornell, C. Wieman και W. Ketterle ήδη από το
2001, µόλις 6 χρόνια µετά τα πειράµατα. Ο λόγος για τον οποίο το πεδίο αυτό παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, είναι
επειδή τα παγιδευµένα ατοµικά αέρια είναι ένα απόλυτα ελεγχόµενο σύστηµα, στο οποίο µπορούν να ρυθµιστούν
πλήρως όχι µόνο η γεωµετρία του συστήµατος, αλλά επίσης η διάσταση, η δύναµη των αλληλεπιδράσεων, κλπ.
Πολλά από τα πρώτα πειράµατα που έγιναν στα συστήµατα αυτά ερµηνεύονται (σε πρώτη προσέγγιση) µε µία
απλή ‘κλασσική’ θεωρία µέσου πεδίου. Αυτή προϋποθέτει ότι όλα τα άτοµα του συστήµατος βρίσκονται στο
συµπύκνωµα, οι ιδιότητες του οποίου περιγράφονται από µία κυµατοσυνάρτηση Φ(r,t) που µεταβάλλεται βάσει µίας
Μη Γραµµικής Εξίσωσης Schroedinger, γνωστής ως Εξίσωσης Gross-Pitaevskii [1]:
2
∂Φ r,
t)
⎡ ħ ∇
iħ
= ⎢−
∂t
⎣ 2m
⎤
+ V ( r,
t)
− µ + g Φ(
r,
t)
⎥ Φ(
r,
t)
⎦
2
( 2
Στην εξίσωση αυτή, V(r,t) περιγράφει το εξωτερικό (οπτικό / µαγνητικό) δυναµικό παγίδευσης των ατόµων, µ το
χηµικό δυναµικό του συστήµατος και g τη ‘δύναµη αλληλεπίδρασης’ των ελαστικών κρούσεων ανάµεσα σε δύο άτοµα
του συµπυκνώµατος (οι οποίες θεωρούνται τοπικές αλληλεπιδράσεις, µε το δυναµικό αλληλεπίδρασης να δίδεται από
τη σχέση V(r-r’)=gδ(r-r’).) Παρά την απλουστευµένη µορφή της, η εξίσωση αυτή περιγράφει µε αρκετή ακρίβεια
πολλές από τις ιδιότητες του συστήµατος περίπου µέχρι µια θερµοκρασία Tc/2.
Σε ένα τυπικό πείραµα, του οποίου η θερµοκρασία, T είναι µη µηδενική, και βρίσκεται στην περιοχή 0 < T < Tc,
µόνο ένα µέρος των ατόµων εµφανίζουν συλλογική συµπεριφορά, και άρα ‘βρίσκονται’ στο Συµπύκνωµα Bose-
Einstein, µε τα υπόλοιπα άτοµα να βρίσκονται στο λεγόµενο ‘θερµικό νέφος΄ και να συµπεριφέρονται σαν κανονικά
αέρια. Συνεπώς, η σωστή περιγραφή του ολικού συστήµατος των παγιδευµένων ατόµων, πρέπει να περιγράφει και τα
δύο αυτά ‘υπο-συστήµατα’ (συµπύκνωµα-θερµικό νέφος). Αυτό µπορεί να επιτευχθεί λαµβάνοντας υπόψιν τις
διακυµάνσεις γύρω από το µέσο πεδίο Φ(r,t). Περιληπτικά, στο φορµαλισµό της 2 ης κβάντωσης, ο τελεστής του
µποζονικού πεδίου Ψˆ
( r,
t)
αναγράφεται ως
Ψˆ
( r,
t)
= Ψˆ
( r,
t)
+ ˆ( δ r,
t)
= Φ(
r,
t)
+ ˆ( δ r,
t)
(2),
όπου Φ( r,
t)
η κυµατοσυνάρτηση του συµπυκνώµατος που εµφανίζεται στην εξίσωση (1). Στις πειραµατικές
θερµοκρασίες, οι θερµικές διακυµάνσεις συνήθως είναι πολύ µεγαλύτερες από τις κβαντικές διακυµάνσεις; συνεπώς
µπορούµε να ορίσουµε την πυκνότητα του θερµικού νέφους ως n( r,
t)
= ˆ( δ r,
t)
ˆ( δ r,
t)
. Μία ακριβέστερη περιγραφή
του συστήµατος µπορεί συνεπώς να επιτευχθεί από τη γενίκευση της εξίσωσης (1), που συµπεριλαµβάνει τα θερµικά
άτοµα, µέσω [2,3]
2 2
∂Φ( r,
t)
⎡ ħ ∇
2
⎤
iħ
= ⎢−
+ V ( r,
t)
− µ + g( Φ(
r,
t)
+ 2n(
r,
t)
) − iR(
r,
t)
⎥ Φ(
r,
t)
∂t
2m
(3)
⎣
⎦
Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει τη µεταβολή της κυµατοσυνάρτησης του συµπυκνώµατος λαµβάνοντας υπόψιν
ότι λόγω της µη-µηδενικής θερµοκρασίας, το σύστηµα αποτελείται και από άτοµα τα οποία δεν ‘ανήκουν’ στο
(1)
141