xxiii πανελληνιο ÏƒÏ Î½ÎµÎ´ÏÎ¹Î¿ Ï†Ï ÏƒÎ¹ÎºÎ·Ï‚ στερεας καταστασης & επιστημης ...

συµπύκνωµα. Αυτό επιτρέπει τη συνεχή ανταλλαγή ατόµων µεταξύ του συµπυκνώµατος και του θερµικού νέφους, η
οποία οδηγεί στον όρο –iR(r,t) . Η σωστή περιγραφεί του συστήµατος προϋποθέτει µία αντίστοιχη εξίσωση για τη
µεταβολή της κατανοµής των θερµικών ατόµων, η οποία µπορεί να αποδειχθεί [2] ότι έχει τη µορφή µίας κλασσικής
εξίσωσης Boltzmann για την πυκνότητα στο χώρο των φάσεων (phase space density) µε την προσθήκη ενός ακόµα
όρου που επιτρέπει την ανταλλαγή ατόµων ανάµεσα στα δύο ‘υπό-συστήµατα’ (µε τέτοιο τρόπο ώστε ο ολικός
αριθµός των ατόµων του συστήµατος να παραµένει σταθερός).
Η παραπάνω µέθοδος εξηγεί µε µεγάλη ακρίβεια το ρόλο των ατόµων τα οποία δεν βρίσκονται στο συµπύκνωµα,
και εξηγεί την συµπεριφορά του συστήµατος σε αρκετές διαφορετικές διατάξεις και συνθήκες, οδηγόντας σε
εξαιρετική συµφωνία µε όσα πειράµατα έχουν µελετηθεί [4-5]. Ένα µειονέκτηµα αυτής της θεωρίας είναι οτί αγνοεί
τις κβαντικές διακυµάνσεις, και λαµβάνει ως δεδοµένο ότι το συµπύκνωµα είναι σύµφωνο (όλα τα άτοµα έχουν την
ίδια φάση). Αν και αυτό δεν παρουσιάζει προβλήµατα σε συνήθεις 3διάστατες γεωµετρίες (εκτός από την περίπτωση
των ‘ισχυρά-συσχετισµένων ατόµων’), χαµηλοδιάστατες διατάξεις, οι οποίες ως γνωστό δεν εµφανίζουν το φαινόµενο
της συµπύκνωσης Bose-Einstein στο θερµοδυναµικό όριο, είναι πολύ πιο επιρρεπείς στις διακυµάνσεις της φάσεως.
Συνεπώς, η παραπάνω θεωρητική µέθοδος πρέπει να γενικευτεί µε κατάλληλο τρόπο ώστε να συµπεριλάβει αυτές τις
φασικές διακυµάνσεις, οι οποίες έχουν ήδη παρατηρηθεί πειραµατικά [6]. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί, επιλέγοντας να
περιγράψουµε τις χαµηλότερες ενεργειακές καταστάσεις του συστήµατος µε ‘ενιαίο’ τρόπο µε µία ‘στοχαστική’
εξίσωση τύπου Langevin [7]
2 2
∂ϕ( r,
t)
⎡ ħ ∇
2 ⎤
iħ
= ⎢−
+ V ( r,
t)
− µ + g ϕ(
r,
t)
− iR(
r,
t)
⎥ϕ(
r,
t)
+ η(
r,
t)
(4)
∂t
⎣ 2m
⎦
η οποία έχει αποδειχθεί χρησιµοποιόντας τελείως διαφορετικές θεωρητικές τεχνικές, όπως κβαντική θεωρία
πολλών σωµατιδίων (many-body theory, path integrals) [8] και θεωρία κβαντικής οπτικής (quantum optics) [9]. Στην
παραπάνω εξίσωση, η ΄παράµετρος’ ϕ( r,
t)
δεν περιγράφει πλέον την κυµατοσυνάρτηση του συµπυκνώµατος, αλλά
µιµείται αριθµητικά τον ολικό τελεστή του µποζονικού πεδίου
Ψˆ
( r,
t)
, υπό την έννοια ότι η µέση τιµή του
ϕ( r,
t)
µετά από πολλά αριθµητικά ‘simulations’ µε διαφορετικές αρχικές συνθήκες του θορύβου (noise) η(r,t),
ισοδυναµεί, κατά µέσο όρο, µε τη µέση τιµή του τελεστή του µποζονικού πεδίου µετά από ensemble-averaging.
Συνεπώς, στην παραπάνω περιγραφή, δεν διαχωρίζουµε το συµπύκνωµα από το θερµικό νέφος στις χαµηλές
ενεργειακές καταστάσεις (µε τις υπόλοιπες, ενεργειακά υψηλότερες, καταστάσεις να περιγράφονται πάλι από µία
κβαντική εξίσωση Boltzmann).
Οι παραπάνω θεωρίες έχουν εφαρµοστεί πρόσφατα σε διάφορα σύνθετα προβλήµατα, τα οποία αναλύουµε:
1. ∆ιάσπαση Σολιτονίων σε Συµπυκνώµατα Bose-Einstein σε µη µηδενικές θερµοκρασίες [5]: Αν και η
εξίσωση Gross-Pitaevskii (1) περιγράφει συνεχείς ταλαντώσεις σολιτονίων σε αρµονικά παγιδευµένα
συµπυκνώµατα [10], αυτές οι ταλαντώσεις δεν έχουν ακόµα παρατηρηθεί πειραµατικά [11]. Σύµφωνα µε
την ανάλυση µας [5], που συµφωνεί απόλυτα µε το πείραµα, αυτό οφείλεται στις αρχικές συνθήκες του
πειράµατος που ενίσχυσαν αυτή τη διάσπαση.
2. ∆ιάσπαση Στροβίλων (Vortices) σε Μη Μηδενικές Θερµοκρασίες [12]: Χρησιµοποιόντας ξανά τον πρώτο
φορµαλισµό (Εξίσωση (3)), µελετάµε τη σταθερότητα στροβίλων υπό την παρουσία θερµικού νέφους,
γενικεύοντας προηγούµενες εργασίες στον τοµέα αυτό.
3. Τέλος, µελετάµε τις ιδιότητες ενός πολύ επιµηκούς (‘µονοδιάστατου’) σύστηµατος [13-16], παρατηρώντας
και αναλύοντας πλήρως την έλλειψη φασικής συνοχής, και παρουσιάζοντας µία απλή ρεαλιστική µελέτη για
την ανάπτυξη του συµπυκνώµατος από µία αρχική κατάσταση ‘far-from-equilibrium’. Συγκεκριµένα
χαρακτηρίζουµε την εµφάνιση κυµάτων εκρήξεως (‘shock waves’) σε υπέρψυχρα άτοµα [16].
[1] Pitaevskii L. P., Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961); Gross E. P., Nuovo Cimento 20, 454 (1961).
[2] Zaremba E., Nikuni, T and Griffin A., J. Low Temp. Phys. 116, 277 (1999).
[3] Proukakis N. P., J. Phys. B 34, 4737 (2001).
[4] Jackson B. and Zaremba E., Phys. Rev. Lett. 87, 100404 (2001); ibid. 88, 180402 (2002).
[5] Jackson B., Proukakis N. P. and Barenghi C. F., Phys. Rev. A 75, 051601 (2007);
Jackson B., Proukakis N. P. and Barenghi C. F., J. Low Temp. Phys. (In Press, 2007).
[6] Dettmer S. et al., Phys. Rev. Lett. 87, 160406 (2001); Schvarchuck I. et al., Phys. Rev. Lett. 89, 270404 (2002);
Richard S. et al., Phys. Rev. Lett. 91, 010405 (2003).
[7] Stoof H. T. C. and Bijlsma M. J., J. Low Temp. Phys. 124, 431 (2001).
[8] Stoof H. T. C., J. Low Temp. Phys. 114, 11 (1999).
[9] Gardiner C. W. and Davis M. J., J. Phys. B 36, 4732 (2003).
[10] Proukakis N. P., Parker N. G., Frantzeskakis D. J. and Adams C.S., J. Opt. B 6, S380 (2004).
[11] S. Burger et al., Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999).
[12] Jackson B. J., Proukakis N. P., Barenghi C. F. and Zaremba E. (In Preparation, 2007)
[13] Al Khawaja U., Andersen J., Proukakis N. P. and Stoof H. T. C., Phys. Rev. A 66, 013615 (2002).
[14] Proukakis N. P., Las. Phys. 13, 527 (2003).
[15] Proukakis N. P., Phys. Rev. A 73, 023605 (2006); Proukakis N. P., Phys. Rev. A 74, 053617 (2006).
[16] Proukakis N. P, Schmiedmayer J. and Stoof H. T. C., Phys. Rev. A 73, 053603 (2006).
Ευχαριστούµε το EPSRC (UK) και to NWO (The Netherlands) για χρηµατοδότηση και τον Joerg Schmiedmayer
για πειραµατικές συζητήσεις.
142