xxiii πανελληνιο ÏƒÏ Î½ÎµÎ´ÏÎ¹Î¿ Ï†Ï ÏƒÎ¹ÎºÎ·Ï‚ στερεας καταστασης & επιστημης ...

στο συντελεστή διέλευσης. Αντίστοιχες κορυφές εμφανίζονται στο φάσμα απορρόφησης.
Θεωρούμε τώρα έναν κρύσταλλο fcc ως επαλληλία επιπέδων (001) των παραπάνω νανοφλοιών. Η πλεγματική του
σταθερά είναι a = 2a
= 3 2c
/ ω και η απόσταση μεταξύ διαδοχικών επιπέδων (001) d=a/2. Αγνοούμε την απορρόφηση
Σχήμα 3 Αριστερά: Φωτονική δομή ζωνών ενός κρυστάλλου
fcc ( a = 3 2 c / ω ) νανοσωματιδίων από πυρήνα SiO 2
p
0
(S 1 =0.7c/ω p ) και μεταλλικό φλοιό (D=0.3c/ω p ) χωρίς
απορρόφηση, στον αέρα, κατά τη διεύθυνση [001]. Οι παχιές
και οι λεπτές γραμμές δείχνουν τις διπλά εκφυλισμένες και τις
μη εκφυλισμένες ζώνες, αντίστοιχα. Δεξιά: Συντελεστής
διέλευσης για κάθετη πρόσπτωση σε πλακίδιο από N L =8
επίπεδα (001) αυτού του κρυστάλλου.
p
στο μέταλλο για να έχουν σαφή έννοια οι ζώνες συχνοτήτων που υπολογίζουμε. Στο σχήμα 3 δείχνουμε τη φωτονική δομή
ζωνών κατά τη διεύθυνση [001], όπου η συμμετρία των ζωνών είναι αυτή της ομάδας C 4v [4]. Οι ζώνες Δ 1 , Δ 2 , Δ 1΄, Δ 2΄ είναι
μη εκφυλισμένες και οι Δ 5 διπλά εκφυλισμένες. Η επιφάνεια (001) του κρυστάλλου αυτού είναι επίπεδο κατοπτρικής
συμμετρίας και επομένως παρουσιάζουμε μόνο τις ζώνες για θετικό k z . Σε χαμηλές συχνότητες, που δεν δείχνουμε στο
σχήμα, παίρνουμε μια γραμμική καμπύλη διασποράς,
συμμετρίας Δ 5 , όπως αναμένεται για διάδοση σε
ομοιογενές ενεργό μέσο. Σε υψηλότερες συχνότητες
βλέπουμε επίπεδες ζώνες που προέρχονται από τις
καταστάσεις επιφανειακών πλασμονίων των
νανοφλοιών. Η συνιστώσα Δ 5 αυτών των ζωνών
υβριδοποιείται με τις ζώνες Δ 5 του ενεργού μέσου, για
να δώσουν τις ζώνες Δ 5 που παρουσιάζονται στο σχήμα
3. Χάσματα συχνοτήτων ανοίγουν λόγω υβριδισμού
μεταξύ της εκτεταμένης ζώνης και των επίπεδων ζωνών
της ίδιας συμμετρίας. Ο υβριδισμός είναι ισχυρότερος
για τη ζώνη διπολικού συντονισμού, λόγω της
μεγαλύτερης χωρικής έκτασης των αντίστοιχων
καταστάσεων, και το χάσμα που προκύπτει είναι
ευρύτερο. Οι διπολικές καταστάσεις πλασμονίων των
νανοφλοιών δίνουν μια τριπλά εκφυλισμένη κατάσταση
(συμμετρίας Γ 15 ) στο κέντρο της ζώνης Brillouin, που
διαχωρίζεται σε μια ζώνη Δ 1 και μια Δ 5 κατά τη
διεύθυνση [001]. Οι αντίστοιχες τετραπολικές
καταστάσεις δίνουν μια τριπλά εκφυλισμένη (Γ 25΄) και
μια διπλά εκφυλισμένη (Γ 12 ) κατάσταση στο κέντρο της
ζώνης Brillouin˙ αυτές διαχωρίζονται σε μια ζώνη Δ 2΄
και μια Δ 5 , καθώς και σε μια ζώνη Δ 1 και μια Δ 2 κατά
μήκος της διεύθυνσης [001], αντίστοιχα. Δύο χάσματα
ανοίγουν ως αποτέλεσμα του υβριδισμού μεταξύ της
εκτεταμένης ζώνης ενεργού μέσου και των παραπάνω
ζωνών συντονισμού Δ 5 . Οι μη εκφυλισμένες ζώνες κατά
τη διεύθυνση [001] προέρχονται από ασθενή
αλληλεπίδραση μεταξύ των αντίστοιχων δέσμιων καταστάσεων διαδοχικών επιπέδων (001). Πράγματι, υπολογίζοντας τις
ιδιοκαταστάσεις κάθετα σε πλακίδιο από N L =8 τέτοια επίπεδα νανοφλοιών, στην περιοχή συχνοτήτων κάθε μιας από αυτές
τις ζώνες βρίσκουμε 8 ιδιοσυχνότητες οι οποίες, αν σχεδιαστούν συναρτήσει του ανηγμένου κυματαριθμού k z =κπ/(Ν L +1)d,
κ=1, 2, …, Ν L , (N L =8), αναπαράγουν τις αντίστοιχες καμπύλες διασποράς του άπειρου κρυστάλλου, όπως φαίνεται με
ανοικτούς κύκλους στο σχήμα 3 για τη χαμηλότερη μη εκφυλισμένη ζώνη. Όπως ήδη αναφέραμε, οι μη εκφυλισμένες ζώνες
κατά μήκος της διεύθυνσης [001] του κρυστάλλου δεν μπορούν να διεγερθούν από εξωτερικά προσπίπτον κύμα, διότι δεν
έχουν την κατάλληλη συμμετρία. Στο σχήμα 3, εκτός από τις συνηθισμένες ζώνες συχνοτήτων (πραγματικό k z ) δείχνουμε και
τις γραμμές πραγματικής συχνότητας για μιγαδικές ιδιοτιμές k z που αντιστοιχούν στις διπλά εκφυλισμένες ζώνες. Αυτές οι
γραμμές είναι οι αναλυτικές επεκτάσεις στο μιγαδικό επίπεδο k z των ζωνών πάνω και κάτω από τα χάσματα. Η γραμμή
πραγματικής συχνότητας της κατάλληλης συμμετρίας (Δ 5 στην παρούσα περίπτωση) με το μικρότερο φανταστικό μέρος
στην περιοχή ενός χάσματος καθορίζει την εξασθένιση του πεδίου: lnT(ω)=−2dN L Im[k z (ω)] + σταθερά κατά την αντίστοιχη
διεύθυνση. Αυτό πράγματι παρατηρείται στο συντελεστή διέλευσης: εντός του πρώτου χάσματος, η γραμμή καθορίζει τη
διέλευση κάτω από τη συχνότητα 0.386ω p ενώ η γραμμή καθορίζει τη διέλευση πάνω από αυτή τη συχνότητα. Οι δομές
συντονισμού στο συντελεστή διέλευσης από πεπερασμένο πλακίδιο του κρυστάλλου, στην περιοχή από 0.45ω p έως 0.47ω p ,
οφείλονται σε πλασμονικούς συντονισμούς νανοφλοιών μεμονωμένων επιπέδων που αλληλεπιδρούν ασθενώς μεταξύ τους.
Είναι αξιοσημείωτο ότι οι συντονισμοί του πλακιδίου εμφανίζονται σε συχνότητες κατά μήκος της γραμμής πραγματικής
συχνότητας που αντιστοιχούν σε Re[k z ]=κπ/(Ν L +1)d, κ=1, 2, …, Ν L , όπου N L =8 είναι ο αριθμός των επιπέδων στο πλακίδιο,
όπως φαίνεται με ανοιχτούς κύκλους στο σχήμα 3. Σε χαμηλές συχνότητες, που δεν δείχνουμε στο σχήμα, ο συντελεστής
διέλευσης εμφανίζει ταλαντώσεις Fabry-Perot λόγω πολλαπλής σκέδασης στις επιφάνειες του πλακιδίου. Η περίοδός τους
είναι k z d/π=1/8, όπως αναμένεται για το δεδομένο πάχος πλακιδίου.
[1] Prodan E., Radloff C., Halas N. J., Nordlander P., Science 302 (2003) 419.
[2] Teperik T. V., Popov V. V., Garcia de Abajo F. J., Phys. Rev. B 69 (2004) 155402.
[3] Stefanou N., Yannopapas V., Modinos A., Comput. Phys. Commun. 113 (1998) 49; 132 (2000) 189.
[4] Cornwell J. F. Group Theory and Electronic Energy Bands in Solids. Amsterdam, North-Holland, 1969.
200