xxiii πανελληνιο ÏƒÏ Î½ÎµÎ´ÏÎ¹Î¿ Ï†Ï ÏƒÎ¹ÎºÎ·Ï‚ στερεας καταστασης & επιστημης ...

Γένεση, Δυναμική και Έλεγχος Σολιτονίων σε Συμπυκνώματα Bose-Einstein
Φραντζεσκάκης Δ. 1*
1 Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστημιόπολις, 157 84 Αθήνα
*dfrantz@phys.uoa.gr
Για αρκούντως χαμηλές θερμοκρασίες, και στο πλαίσιο της θεωρίας μέσου πεδίου, η δυναμική των συμπυκνωμάτων Bose-
Einstein (Bose-Einstein Condensates, BECs) περιγράφεται από την εξίσωση Gross-Pitaevskii (GP) [1],
∂ψ
⎡ η
2
2 ρ 2 ⎤
iη
= ⎢−
∇ ψ + V ( r ) + gψ
⎥ψ
,
∂t
⎢ 2m
⎣
⎥⎦
όπου ψ είναι η κυματοσυνάρτηση του BEC, ενώ η σταθερά σύζευξης g = 4πη
2
α / m χαρακτηρίζει τις διατομικές αλληλεπιδράσεις
(m είναι η ατομική μάζα και α είναι το μήκος σκέδασης s). Το εξωτερικό δυναμικό παγίδευσης μπορεί γενικά να
είναι αρμονικό, ή περιοδικό (στη μορφή οπτικού πλέγματος) - δηλαδή να παίρνει τις μορφές
[
2 2 2
(
2 2 ρ
ω + ω y + z )],
V ( r ) = V ∑ cos
2 ( k ),
ρ 1
V ( r ) = m
η
2
x x ⊥
0 η = x,
y,
z η
ή συνδυασμών τους (ω η είναι οι συχνότητες παγίδευσης στις τρεις διευθύνσεις και V 0 το πλάτος του περιοδικού δυναμικού).
Στην περίπτωση ισχυρά ανισοτροπικών παγίδων με ω x ω ⊥ , το BEC γίνεται οιωνεί μονοδιάστατο ή διδιάστατο
αντίστοιχα, και η περιγραφή του μπορεί να γίνει με μια φαινομενική εξίσωση GP σε μία ή σε δύο διαστάσεις. Επιπλέον, στην
περίπτωση του ελεύθερου (V = 0) συμπυκνώματος σε μία διάσταση, η εξίσωση GP γίνεται η πλήρως ολοκληρώσιμη μη
γραμμική εξίσωση Schrődinger (nonlinear Schrődinger, NLS) που επιδέχεται λύσεις φωτεινών και σκοτεινών σολιτονίων για
ελκτικές (α < 0) ή απωστικές (α > 0) διατομικές αλληλεπιδράσεις αντίστοιχα. Από την άλλη πλευρά, στη διδιάστατη
περίπτωση, η εξίσωση NLS επιδέχεται ευσταθείς λύσεις στροβίλων (vortices).
Αποδεικνύεται ότι ο φυσικός μηχανισμός γένεσης φωτεινών σολιτονίων είναι το φαινόμενο της αστάθειας διαμόρφωσης
(modulational instability) του συνεχούς κύματος της εξίσωσης NLS [2]. Η ανάλυσή της, που είναι σχετικά απλή στην
περίπτωση ελευθέρων (μη παγιδευμένων) συμπυκνωμάτων, επεκτείνεται και στην περίπτωση παγιδευμένου, οιωνείμονοδιάστατου
συμπυκνώματος με ελκτικές αλληλεπιδράσεις. Αποδεικνύεται ότι με κατάλληλη διαμόρφωση της
πυκνότητας του ΒΕC (που επιτυγχάνεται με αλλαγή των αλληλεπιδράσεων από απωστικές σε ελκτικές με χρήση του
συντονισμού Feshbach και την κατάλληλη χρονική εξέλιξη της συχνότητας παγίδευσης) είναι δυνατόν να ελεγχθεί πλήρως ο
μηχανισμός γένεσης των σολιτονίων στα συστήματα αυτά. Επίσης, εξάγεται ένα κριτήριο για την εμφάνιση ή την καταστολή
της αστάθειας διαμόρφωσης, που επαληθεύεται πολύ καλά από αριθμητικές προσομοιώσεις [3].
Επίσης, προτείνεται ένας μηχανισμός γένεσης σκοτεινών σολιτονίων σε ατομικά συμπυκνώματα με απωστικές
αλληλεπιδράσεις, που βασίζεται στη ρήξη της υπερρευστότητας του συμπυκνώματος. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με το
κριτήριο του Landau, η ροή ενός υπερρευστού παρουσία ενός εμποδίου χαρακτηρίζεται από μηδενικό ιξώδες μόνο κάτω από
μια κρίσιμη ταχύτητα, ενώ πάνω από αυτήν η ροή γίνεται είναι ασταθής. Προτείνεται ότι ένα οιωνεί μονοδιάστατο BEC που
κινείται λόγω μετατόπισης της παγίδας του γύρω από μία θέση που βρίσκεται ένα εμπόδιο (που μπορεί να είναι μια δέσμη
laser), μπορεί να πέσει σε μία τέτοια αστάθεια με αποτέλεσμα τη γένεση σκοτεινών σολιτονίων [4, 5]. Είναι σημαντικό ότι
παραλλαγή της τεχνικής αυτής υλοποιήθηκε σε ένα πολύ πρόσφατο πείραμα, στο οποίο επιβεβαιώθηκε η γένεση σκοτεινών
σολιτονίων [6]. Η εύρεση της κρίσιμης ταχύτητας, όπως και η ανάλυση των ευσταθών μη γραμμικών κυμάτων (σολιτόνια
και στρόβιλοι διαφόρων τύπων) που παράγονται λόγω τέτοιων δυναμικών ασταθειών γενικεύεται και στην περίπτωση δύο
συζευγμένων συμπυκνωμάτων (δύο διαφορετικές καταστάσεις spin του ιδίου στοιχείου) [7].
Ένας εναλλακτικός τρόπος για τη γένεση (αλλά και για τον έλεγχο της δυναμικής) των σολιτονίων βασίζεται στη χρονική ή
χωρική μεταβολή της σταθεράς σύζευξης g, που μπορεί να επιτευχθεί με τη χρήση εξωτερικών μαγνητικών ή οπτικών
πεδίων. Μία τέτοια τεχνική, που βασίζεται στη διαχείρηση του συντονισμού Feshbach (Feshbach resonance management),
οδηγεί στη δημιουργία ευσταθών φωτεινών ή σκοτεινών σολιτονίων [8] για χρονικά περιοδικές διαμορρφώσεις της σταθεράς
σύζευξης. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο φυσικός μηχανισμός της γένεσης των σολιτονίων είναι και πάλι η αστάθεια
διαμόρφωσης, όπως παρατηρήθηκε σε ένα πρόσφατο πείραμα μη γραμμικής οπτικής, σε ένα μέσο με χωρικά περιοδική μη
γραμμικότητα [9]. Επίσης, κατάλληλες χωρικές μεταβολές της σταθεράς g του συμπυκνώματος αποδεικνύεται ότι οδηγούν
σε ενδιαφέρουσες εφαρμογές, όπως ο έλεγχος της δυναμικής των σολιτονίων, η αυτοπαγίδευσή τους, η παρατήρηση
ταλαντώσεων Bloch, κλπ [10].
Για την περιγραφή της δυναμικής των σολιτονικών υλικών κυμάτων, στην περίπτωση που τα εξωτερικά δυναμικά είναι αργά
μεταβαλλόμενα, εφαρμόζεται η αδιαβατική θεωρία διαταραχών για σολιτόνια. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η μορφή των
λύσεων των σολιτονίων παραμένει ίδια με αυτή της πλήρως ολοκληρώσιμη NLS, αλλά οι παράμετροι της λύσης γίνονται
χρονομεταβαλλόμενοι. Ακολουθώντας αυτήν την προσέγγιση, αποδεικνύεται ότι τα κέντρα των σολιτονίων συμπεριφέρονται
σαν κλασσικά νευτώνια σωμάτια παρουσία ενός φαινομενικού δυναμικού, η μορφή του οποίου εξαρτάται από εκείνη του
εξωτερικά επιβαλλόμενου. Το αποτέλεσμα αυτό ισχύει τόσο για τα σκοτεινά [11, 12] όσο και για τα φωτεινά [13] σολιτόνια,
143