FQ-Engel

284 CAPÍTULO 12 Probabilidad
Solución
El ensayo de interés consta de 50 experimentos separados; por tanto, n = 50.
Primero consideramos el caso de 25 experimentos con éxito, donde j = 25. La
probabilidad (P 25
) es
P25
= C( n, j)( PE ) j ( 1−PE )
n − j
= C( 50, 25)( P )
25( 1−PE )
Llevando a cabo los mismos pasos para el caso en el que j = 10, obtenemos que
P10
= C( n, j)( PE ) j ( 1−PE )
n − j
= C( 50, 10)( P )
10( 1−P E
)
E
50!
1
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
( 25!) ( 25!)
⎠
⎟ ⎛ ⎝ ⎜
⎞
2⎠
⎟
E
25
50!
1
= ⎛ ⎞
⎝ ⎜ ( 10!)( 40!)
⎠
⎟ ⎛ ⎝ ⎜
⎞
2⎠
⎟
⎛ 1⎞
⎝
⎜
2⎠
⎟
10
25
25
= (. × )(. × ) = .
40
40
1 26 1014 8 88 10−
16
0 11
⎛ 1⎞
⎝
⎜
2⎠
⎟ = (. 1 03× 10 )(. 8 88 × 10−
) = 9.
1×
10
10 16 −6
12.3 Aproximación de Stirling
Cuando calculamos P(n,j) y C(n,j), es necesario evaluar cantidades factoriales. En los ejemplos
encontrados hasta ahora, n y j eran suficientemente pequeños para que estas cantidades se
evaluaran con una calculadora. Sin embargo, esta aproximación para evaluar las cantidades factoriales
está limitada a números relativamente pequeños. Por ejemplo, 100! es igual a 9.3 ×
10 157 , que es un número extremadamente grande y más allá del rango de muchas calculadoras.
Además, estamos interesados en extender los conceptos de probabilidad que hemos desarrollado
a los sistemas químicos en los que n ∼ 10 23 ! El factorial de un número tan grande está
simplemente más allá de la capacidad computacional de la mayoría de calculadoras.
Afortunadamente, hay disponibles métodos de aproximación que nos permiten calcular
el factorial de números grandes. El más famoso de estos métodos se conoce como aproximación
de Stirling, que proporciona un método simple para calcular el logaritmo natural
de N! Una versión simplificada de esta aproximación es
ln N! = Nln
N −N
(12.15)
La Ecuación (12.15) se deduce realmente como sigue:
ln( N!) = ln[( N)( N −1)( N −2)...( 2)( 1)]
= ln( N) + ln( N − 1) + ln( N − 2) + ... + ln( 2) + ln( 1)
N
∑
= ln( n) ≈ ln( ndn )
n=
1
N
∫
1
= Nln N −N −( 1ln 1−1) ≈ Nln
N −N
(12.16)
En esta deducción, se reemplaza la suma sobre n por una integración, una aproximación aceptable
cuando N es grande. El resultado final se obtiene evaluando la integral entre los límites
indicados. Nótese que la suposición principal inherente a esta aproximación es que N es un
número grande. El principal interés de la aproximación de Stirling es cuando N es lo suficientemente
grande para justificar su aplicación. El Problema Ejemplo 12.9 ilustra este punto.
PROBLEMA EJEMPLO 12.9
Evalue ln(N!) para N = 10, 50 y 100 usando una calculadora, y compare el
resultado con el obtenido usando la aproximación de Stirling.