FQ-Engel

12.4 Funciones de distribución de probabilidad 287
En la Ecuación (12.19), P(X i
) es la probabilidad de que la variable X tome el valor X i
en el
espacio muestral. Esta ecuación establece que el conjunto de probabilidades {P(X 1
), P(X 2
),
…,P(X M
)} será proporcional al valor de la función de distribución evaluada para el valor
correspondiente de la variable {f 1
, f 2
, … , f M
}. En el ejemplo del lanzamiento de la moneda,
la variable número de caras puede tener un valor entre 0 y 50, y se empleó la Ecuación
(12.13) para determinar la correspondiente probabilidad, P(X i
), para cada valor posible
de la variable. En un experimento binomial, la Ecuación (12.13) representa la función
f de la Ecuación (12.19). Podemos expresar la Ecuación (12.19) como una igualdad, introduciendo
una constante de proporcionalidad (C)
(12.20)
Imponiendo el requerimiento de que la probabilidad total sea igual a la unidad, resulta que
(12.21)
La Ecuación (12.21) se evalúa rápidamente, para dar lugar a la constante de proporcionalidad:
M
∑
1 = Cf = Cf + Cf + ... + Cf
i=
1
i
1 = C( f + f + ... + f ) = C
1 2
PX ( )= Cf
M
∑ PX ( i
) = 1
i=
1
i
C =
1 2
(12.22)
La sustitución en la expresión original de la probabilidad proporciona el resultado final:
M
1
∑
i=
1
f i
i
M
M
∑
i=
1
M
f i
PX ( )=
i
f
i
M
∑
i=
1
f
i
(12.23)
La Ecuación (12.23) establece que la probabilidad de que una variable tenga un valor dado
del espacio muestral viene dada por el valor de la función de probabilidad para este resultado
dividida por la suma de probabilidades de todos los resultados posibles. La Ecuación
(12.23) es una expresión general de la probabilidad, y usaremos esta definición en el próximo
Capítulo cuando definamos la distribución de Boltzmann, uno de los resultados centrales
de la Termodinámica Estadística.
PROBLEMA EJEMPLO 12.10
¿Cuál es la probabilidad normalizada de recibir una carta dada de una baraja
estándar de 52 cartas?
Solución
La variable de interés es la carta recibida, que puede ser cualquiera de la 52 cartas
(esto es, el espacio muestral de la variable consta de las 52 cartas de la baraja). La
probabilidad de recibir cualquier carta es la misma, de forma que f i
= 1 para i = 1 a
52. Con estas definiciones, la probabilidad viene a ser:
fi
1 1
PX (
i
)= = =
52 52
52
f f
∑
∑
i
i= 1 i=
1
i