FQ-Engel

12.4 Funciones de distribución de probabilidad 285
Solución
Para N = 10 usando una calculadora podemos determinar que N! = 3.63 × 10 6 y
ln(N!) = 15.1. Usando la aproximación de Stirling:
ln( N!) = Nln N − N = 10 ln( 10) − 10 = 13.
0
Este valor presenta un 13.9% de error relativo con respecto al resultado exacto, una
diferencia sustancial. El mismo procedimiento para N = 50 y 100 da lo siguiente:
N ln(N!) Calculado ln(N!) Stirling Error (%)
50 148.5 145.6 2.0
100 363.7 360.5 0.9
El Problema Ejemplo 12.9 demuestra que hay diferencias significativas entre los resultados
exacto y aproximado para N = 100. El ejemplo también demuestra que la magnitud de este
error decrece conforme crece N. Para los sistemas químicos que encontraremos en los Capítulos
siguientes, N será ∼10 23 , muchos órdenes de magnitud mayor que los valores estudiados en
este ejemplo. Por tanto, para nuestros propósitos, la aproximación de Stirling represeneta un
método elegante y suficientemente preciso para evaluar el factorial de cantidades grandes.
12.4 Funciones de distribución de probabilidad
Volviendo al experimento del lanzamiento de la moneda, ahora preguntamos cuál es la probabilidad
de obtener un resultado dado (es decir, número de caras) después de lanzar una
moneda 50 veces. Usando la Ecuación (12.13), se puede construir una tabla de probabilidad
en función del número de caras con n = 50 (número total de lanzamientos) y j = al número
de caras (es decir, el número de lanzamiento es con éxito):
Número de caras Probabilidad Número de caras Probabilidad
0 8.88 × 10 −16 30 0.042
1 4.44 × 10 −14 35 2.00 × 10 −3
2 1.09 × 10 −12 40 9.12 × 10 −6
5 1.88 × 10 −9 45 1.88 × 10 −9
10 9.12 × 10 −6 48 1.09 × 10 −12
15 2.00 × 10 −3 49 4.44 × 10 −14
20 0.042 50 8.88 × 10 −16
25 0.112
En lugar de leer todos los valores de probabilidad de una tabla, esta misma información se
puede presentar gráficamente representando la probabilidad en función del resultado. Esta
representación para el caso en el que P E
= 0.5 (es decir, es igualmente probable que la moneda
caiga de cara o de cruz) se muestra por la curva del centro de la Figura 12.5. Nótese
que se predice que la probabilidad máxima es para 25 caras, es decir, este resultado es el más
probable (como sugiere la intuición). Una segunda característica de esta distribución de probabilidades
es que el valor real de la probabilidad correspondiente a 25 éxitos no es la unidad,
sino 0.112. Sin embargo, sumando todos los resultados de las probabilidades obtenemos que
P0 + P1+ ... + P50
= P j
=1
(12.17)
La Figura 12.5 presenta la variación de la probabiliad del resultado de un evento en función
del número de caras observadas tras el lanzamiento de una moneda 50 veces. Esta repre-
50
∑
j=
0