FQ-Engel

12.6 Caracterización de las funciones de distribución 291
“referencia”. En esta Sección, presentamos los valores de referencia de utilidad sustancial
para caracterizar las funciones de distribución.
12.6.1 Valores medios
El valor medio de una cantidad es quizás el camino más útil —y obvio— para caracterizar
una función de distribución. Consideremos una función, g(X), cuyo valor depende de la variable
X. El valor medio de esta función depende de la distribución de probabilidad asociada
a la variable X. Si se conoce la distribución de probabilidad que describe la probabilidad de
que X tome un valor, esta distribución se puede emplear para determinar el valor medio
de la función como sigue:
M
∑
〈 gX ( )〉= gX ( ) PX ( ) =
i=
1
i
i
M
∑
i=
1
M
gX ( ) f
∑
f
i
i
i=
1
i
(12.32)
La Ecuación (12.32) establece que para determinar el valor medio de la función g(X), simplemente
se suman los valores de esta función para cada valor del conjunto muestral, {X 1
,
X 2
, … , X M
}, multiplicada por la probabilidad de que la variable tome ese valor. La suma
en el denominador proporciona la normalización de la distribución de probabilidad. Los
corchetes en forma de ángulo abrazando a g(X) (es decir, 〈...〉) denotan el valor medio de la
función, una cantidad que se refiere como valor esperado.
PROBLEMA EJEMPLO 12.12
Imaginemos que estamos en un espectáculo de atracciones y observamos un juego
de dardos en el que tiramos un único dardo a la siguiente diana:
0 ?
5 ?
2 ?
Las cantidades en euros de la figura indican la cantidad de dinero que ganaremos si
alcanzamos con el dardo la parte correspondiente de la diana. La geometría de la
diana es tal que el radio de los círculos aumenta linealmente entre áreas sucesivas.
Finalmente, tenemos suficiente práctica en tiros de dardos como para no fallar
enteramente no dando a la diana. Si cuesta 1.50 € lanzamiento de un dardo,
¿merece la pena jugar en esta atracción?
Solución
Suponemos que la probabilidad de acertar en cada Sección de la diana es
directamente proporcional al área. Si el radio del círculo interno es r, entonces
los radios del segundo y tercer círculo son 2r y 3r, respectivamente. El área de
la curva interior, A 1
, es pr 2 y las áreas de los dos círculos más exteriores son
A = p( 2r)
2
− pr2
= 3A
A = p( 3r) 2
− p( 2r)
2
= 5A
3
2
1
1