FQ-Engel

368 CAPÍTULO 15 Termodinámica Estadística
bido a que la función de partición proporciona una medida de la accesibilidad del estado de
energía, se puede suponer que existe la relación entre la función de partición y la entropía.
Esta relación se puede deducir aplicando la fórmula de Boltzmann como sigue:
⎛
S = klnW = kln
⎜
⎝
⎜
que se puede reducir como sigue:
⎛ N ! ⎞
S = kln
⎜ a ⎟
n
⎝
⎜∏
!
n ⎠
⎟
= kln N! −kln a !
= k⎛
Nln
N − a ln a ⎞
n n
⎝
⎜
n ⎠
⎟
En el último paso se uso la siguiente definición de N:
N = ∑ a n
Usando esta definición de nuevo,
= k ln N! − k lna
= kN ( ln N− N) −k ( a ln a −a)
S = k⎛
Nln
N − an
ln a ⎞
n
⎝
⎜
⎠
⎟
∑
(15.55)
(15.56)
(15.57)
(15.58)
En la última línea de esta ecuación, p n
es la probabilidad de ocupación del nivel de energía
n como se definió previamente. La ley de distribución de Boltzmann se puede usar para reescribir
el término de probabilidad de la Ecuación (15.58) como sigue:
⎛
−be
e n ⎞
ln pn
= ln
n
ln q
⎝
⎜
q ⎠
⎟ =− be −
La expresión para la entropía entonces se convierte en
∑
S =−k a ln p
n
∑
n
=−k⎛
an( −ben
−ln q)
⎞
⎝
⎜
⎠
⎟
∑
n
= kb anen
+ k an
ln q
n
N
n
= kbE + kNln
q
E
= + k ln q
T
∑
∑
E
S = + k ln Q = U + k ln Q
T T
n
∑
= k⎛
an ln N − an ln a ⎞
n
⎝
⎜
n
n ⎠
⎟
an
=−k∑
an
ln
N
n
∑
=−k a ln p
n
∏ n
n
∑ n
n
∑
n
∑
n
n
n
∏
n
N !
n
a n
⎞
! ⎟
⎠
⎟
n n n
(15.59)
(15.60)