FQ-Engel

18.5 Expresiones de la ley de velocidad integrada 453
⎛ ⎞
0
2
− kt12
= ln [ A ]
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=− ln 2
[ A]
PROBLEMA EJEMPLO 18.3
La descomposición de N 2
O 5
es un proceso importante en la química troposférica. La
vida media de la descomposición de primer orden de este compuesto es 2.05 × 10 4 s.
¿Cuánto tiempo transcurrirá para que una muestra de N 2
O 5
decaiga al 60% de su
valor inicial?
Solución
Usando la Ecuación (18.29), usando la vida media la constante de velocidad de la
reacción de decaimiento se determina como sigue:
ln 2 ln 2
k = =
t 205 . × 10
12
El tiempo al que la muestra decae al 60% de su valor inicial está entonces
determinado usando la Ecuación (18.27a):
[ NO] . [ NO] [ NO] ( 338 . 10 5
= 06 = e− × − s −1
)
2 5 2 5 0 2 5 0
t
12
0.
6 = e
− ln( 06 . )
338 . × 10−
5s−
− ( 338 . × 10−
5s−1)
t
1
ln 2
=
k
4
= t
= 338 . × 10− 5 −
s
= 151 . × 10 4 s
s 1
t
(18.29)
Nótese que la vida media de una reacción de primer orden es independiente de la concentración
inicial, y sólo influye en t 1/2
la constante de velocidad de la reacción.
0
El decaimiento radiactivo de los isótopos nucleares inestables es un ejemplo importante
de proceso de primer orden. La velocidad de decaimiento se establece usualmente como la
vida media. El Problema Ejemplo 18.4 demuestra el uso del decaimiento radiactivo para
determinar la edad de un material que contiene carbono.
PROBLEMA EJEMPLO 18.4
El carbono 14 es un núcleo radiactivo con una vida media de 5760. La materia
viva intercambia carbono con su medio (por ejemplo, a través del CO 2
) de
forma que se mantiene un nivel constante de 14 C, correspondiente a 15.3
eventos de decaimiento por minuto (cuentas de un detector). Una vez que la
materia viva ha muerto, el carbono contenido en la materia no se intercambia
con el medio y la cantidad de 14 C que permanece en el material muerto
decrece con el tiempo debido al decaimiento radiactivo. Consideremos una
pieza de madera fosilizada que muestra 2.4 eventos de decaimiento de 14 C por
minuto. ¿Cuán vieja es la madera?
Solución
La ratio de eventos de decaimiento da lugar a que la cantidad de 14 C presente
actualmente frente a la cantidad presente cuando el árbol murió:
La relación de la constante de velocidad del decaimiento isotópico y la vida
media es
ln 2 ln 2 ln 2
k = = =
t 5760 años 182 . × 10
12
[
[
14
14
C] 240 .
0.
157
C]
= min−
1
15.
3 min
= −1
0
11
= 381 . × 1
s
0 −12
s −1