FQ-Engel

354 CAPÍTULO 15 Termodinámica Estadística
Usando la Ecuación (15.4), se puede reescribir la Ecuación (15.3) para obtener las siguientes
expresiones de la energía media de la unidad y la energía del conjunto total:
〈〉= − 1 ⎛ ⎞
⎝ ⎜ dq
⎠
⎟ =−⎛ ⎞
e
b ⎝ ⎜
dln
q
q d db
⎠
⎟
N dq
E = N〈 〉= − ⎛ ⎞
N d q
q ⎝ ⎜ d ⎠
⎟ =− ⎛ ⎝ ⎜ ln ⎞
e
b db
⎠
⎟
(15.5)
(15.6)
Al mismo tiempo, las Ecuaciones 15.5 y 15.6 son fáciles de evaluar tomando la derivada
con respecto a T en lugar de b. Usando la definición b = (kT) −1 ,
d b d = dT dT kT − =− k kT 1
( )
1
( )
−2
=− kT
(15.7)
Usando la Ecuación (15.7), las expresiones de la energía media y la total, se pueden escribir:
2
hν
⎛ dln
q⎞
〈〉= e kT
2
(15.8)
⎝
⎜
⎠
⎟
dT
⎛ dln
q
E = NkT2 ⎞
(15.9)
⎝
⎜
dT ⎠
⎟
La Ecuación (15.9) muestra que E cambia con la temperatura, un resultado familiar en nuestro
estudio de la Termodinámica. El Problema Ejemplo 15.1 implica a un conjunto que comprende
partículas con dos niveles de energía, comúnmente referido como sistema de dos
niveles (véase Figura 15.1), para ilustrar la variacion de E con T. Para deducir la forma funcional
de E para este conjunto, se debe construir q y usarlo para deducir una expresión de
E, como se muestra a continuación.
PROBLEMA EJEMPLO 15.1
Energía
0
FIGURA 15.1
Descripción del sistema de dos niveles.
Determine la energía total de un conjunto que consta de N partículas que sólo tiene
dos niveles de energía separados por la energía h.
Solución
Los niveles de energía de las partículas se ilustran en la Figura 15.1. Como se ha
mencionado, los sistemas con sólo dos niveles de energía se refieren comúnmente
como sistemas de dos niveles. Para determinar la energía media, se debe evaluar la
función de partición que describe este sistema. La función de partición consta de
una suma de dos términos:
La derivada de la función de partición con respecto a b es
Usando este resultado, la energía total es
N dq N
E = − ⎛ ⎞
h
h
q ⎝ ⎜ d ⎠
⎟ = −
−
−b
b ( + e−b
h
) (
1 )
Nhe−b
=
1+
e−b
h
Nh
=
eb
h
+ 1
q= 1+ e − b h
dq d
= ( 1+
e−b
h)
db
db
=−he
−bh
h
En el paso final de este ejemplo, para facilitar la evaluación numérica se ha
multiplicado la expresión de E por la unidad, en la forma exp( bh) exp( bh)
.