FQ-Engel

314 CAPÍTULO 13 La distribución de Boltzmann
13.5 La definición de β
El uso de la distribución de Boltzmann requiere una definición operativa de b,
preferiblemente
si esta cantidad se define en términos de variables medibles del sistema.Tal definición se puede
deducir considerando la variación del peso, W, en función de la energía total contenida en un
conjunto de unidades, E. Para empezar, imaginemos un conjunto de 10 osciladores que tiene
sólo tres cuantos de energía total. En esta situación, la mayoría de los osciladores ocupan los
estados de energía más bajos, y el peso correspondiente a la configuración dominante será pequeño.
Sin embargo, conforme se deposita energía en el sistema, los osciladores irán ocupando
estados de energía más elevada y el denominador de la Ecuación (13.4) se reducirá, provocando
un aumento de W. Por tanto, es de esperar que E y W estén correlacionados.
La relación entre E y W se puede determinar tomando el logaritmo natural en la Ecuación
(13.4):
lnW = ln N! −ln a !
(13.37)
Estamos interesados en el cambio de W con respecto a E, una relación que requiere la diferencial
total de W:
dlnW =− dln a !
(13.38)
El resultado de la Ecuación (13.38) se ha deducido usando la aproximación de Stirling para
evaluar ln(a n
!) y reconociendo que ∑ n
da n
= 0. La simplificación de la Ecuación (13.38)
se completa usando la relación de Boltzmann para definir la ratio entre el número de ocupación
de un nivel de energía arbitrario, e n , con respecto al nivel de energía más bajo o fundamental
( e 0 = 0):
−be
Ne n
an
q −be
= = e n
−be
(13.39)
a Ne o
0
q
ln a
(13.40)
En los pasos precedentes, la función de partición, q y N son iguales y simplemente se cancelan.
Tomando esta expresión para ln(a n
) y sustituyendo en la Ecuación (13.38) da lugar
∑ 0 n n
n
0∑ n ∑ e ndan
n
n
dln W =− (ln a −be
) da
=− ln a da + b
(13.41)
La primera suma en la Ecuación (13.41) representa el cambio total de los números de ocupación,
y es igual al cambio del número total de osciladores del sistema. Debido a que el
sistema es cerrado con respecto al número de osciladores, dN = 0 y la primera suma es también
igual a cero. El segundo término representa el cambio de la energía total del sistema
(dE) que acompaña la deposición de energía en el sistema:
∑
n
n
=−
= ln a0 −be
e n
∑
da
(13.42)
Finalmente de esta última igualdad se deduce la relación entre b, el peso y la energía total:
n
∑
n
n
∑
= ln N! − ln a !
n
∏
n
ln ada
n
= dE
n
n
n
n
n
dln
W = bdE
(13.43)
Esta última igualdad es muy notable y proporciona una profundidad significativa del significado
físico de b. Comenzamos reconociendo que el peso se incrementa en proporción