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420 CAPÍTULO 17 Fenómenos de transporte k(Jm –1 s –1 K –1 ) 0.06 0.04 0.02 N 2 Ar La conductividad térmica de un material es dependiente de med %N y l, cantidades que son dependientes de la temperatura y la presión. Por tanto, k también dependerá de la temperatura y la presión. Se pueden hacer predicciones, que incluyen la dependencia de k con T y P, con la teoría cinética de los gases, aproximación usada para describir las partículas de gas. Con respecto a la presión, l es inversamente proporcional a %N de forma que el recorrido libre medio disminuirá con la presión: l = ⎛ ⎝ ⎜ RT ⎞ 1 ⎟ = ⎛ ⎠ s ⎝ ⎜ V ⎞ 1 1 ⎠ ⎟ = PN 2 N 2s N% 2s A 0 1 10 100 P(atm) FIGURA 17.9 La conductividad térmica en función de la presión de N 2 y Ar a 300 K. Nótese que la escala de la presión es logarítmica. La figura muestra que k es, aproximadamente, independiente de la presión hasta 50 atm. k(Jm –1 s –1 K –1 ) 0.04 0.02 300 T (K) N 2 Ar 600 FIGURA 17.10 Variación de k con la temperatura para N 2 y Ar a 1 atm. Los datos experimentales se indican por cuadrados y la dependencia predicha con T 1/2 mediante líneas continuas. La k calculada se hace igual al valor experimental a 300 K, y entonces se aplica la dependencia T 1/2 para generar la variación de k con la temperatura. Del producto del recorrido libre medio por %N resulta una ausencia de dependencia de %N en la Ecuación (17.36), dando lugar al sorprendente resultado de que se predice que k es independiente de la presión. La Figura 17.9 ilustra la dependencia de la presión de k para N 2 y Ar a 300 K. La figura muestra que k es esencialmente independiente de la presión ¡hasta 50 atm! A presiones elevadas, llegan a ser apreciables las fuerzas intermoleculares entre las moléculas del gas, resultando que falla el modelo de esferas rígidas y no son aplicables las expresiones deducidas usando la teoría cinética de los gases. Esta región se observa por la dramática subida de k a altas presiones. También se observa dependencia de la presión de k a presión muy baja, cuando el recorrido libre medio es mayor que las dimensiones del recipiente. En este caso, la energía se transporta desde una parte del recipiente a la otra mediante colisiones de las partículas con la pared, de forma que en este régimen de baja presión, k aumenta con la presión. Con respecto a la dependencia de la temperatura de k , la cancelación de N % con el recorrido libre medio provoca que solamente med y C V,m sean dependientes de la temperatura. Por tanto, el término de la Ecuación (17.36) predice que es proporcional a T 1/2 med k . Se predice idéntico comportamiento en moléculas diatómicas y poliatómicas en las que es mínima la dependencia de C V,m de la temperatura. La Figura 17.10 presenta la variación de k con la temperatura para N 2 y Ar a 1 atm. También presenta la dependencia predicha de k con T 1/2 . La comparación entre la dependencia de la temperatura predicha y la experimental muestra que k crece más rápidamente con la temperatura que la dependencia predicha con T 1/2 debido a la presencia de interacciones intermoleculares que se desprecian en la aproximación de las esferas rígidas empleada en la teoría cinética de gases. Nótese que las diferencias entre la k predicha y la experimental son además evidentes a baja temperatura, en contraposición al buen acuerdo entre el comportamiento de k con la presión predicho y experimental, evidente en la Figura 17.9. 17.6 Viscosidad de los gases El tercer fenómeno de transporte considerado es el del momento lineal. La experiencia práctica proporciona una guía intuitiva con respecto a esta área de transporte. Consideremos el flujo de un gas a través de un conducto a presión. Algunos gases fluyen más fácilmente que otros, y la propiedad que caracteriza la resistencia del flujo es la viscosidad, representada por el símbolo h (eta griega minúscula). ¿Qué hace la viscosidad con el momento lineal? La Figura 17.11 proporciona una vista de un corte que separa el flujo de un gas entre dos placas. Se puede demostrar experimentalmente que la velocidad del gas, v x , es mayor en medio entre las placas y decrece conforme el gas se aproxima a cualquiera de las placas con v x = 0 en el límite de la placa. Por tanto, existe un gradiente de v x según la coordenada ortogonal a la dirección del flujo (z en la Figura 17.11). Como el momento lineal en la dirección x es mv x , también debe existir un gradiente de momento lineal. Suponemos que el flujo de gas es un flujo laminar, significando que el gas se puede descomponer en capas de rapidez constante, como se ilustra en la Figura 17.11. Este régimen existe para la mayoría de los gases y algunos líquidos para los que la velocidad de flujo no es demasiado elevada (véase el Problema P17.15 al final del capítulo). A velocidades de flujo elevadas, se alcanza el régimen de flujo turbulento donde las capas se en-
17.6 Viscosidad de los gases 421 z x Placa Placa FIGURA 17.11 La sección transversal de un fluido que fluye entre dos placas. El fluido se indica por el área gris entre las placas, y la longitud de las flechas representa la rapidez del fluido. tremezclan de forma que no se puede llevar a cabo una disección clara del gas en términos de capas de la misma rapidez. La discusión presentada aquí está limitada a las condiciones de flujo laminar. El análisis del transporte del momento lineal procede en analogía directa con la difusión y la conductividad térmica. Como se ilustra en la Figura 17.11, existe un gradiente del momento lineal en la dirección z; por tanto, los planos de momento lineal similar se definen paralelos a la dirección del flujo de fluido, como se ilustra en la Figura 17.12. La transferencia de momento lineal tiene lugar porque una partícula de una capa de momento colisiona con el plano de flujo y, por tanto, le transfiere su momento a la capa adyacente. Para deducir la relación entre el flujo y el gradiente del momento lineal, procedemos de forma análoga a la usada para deducir la difusión (Sección 17.2) y la conductividad térmica (Sección 17.5). Primero, el momento lineal, p, en ±l está dado por dp p( − ) = p( ) − ⎛ (17.37) ⎝ ⎜ ⎞ l 0 l dz ⎠ ⎟ z = 0 dp p( ) = p( ) + ⎛ (17.38) ⎝ ⎜ ⎞ 0 l dz ⎠ ⎟ z = 0 Procediendo justamente como antes para la difusión y la conducción térmica, el flujo de momento lineal de cada plano localizado en ±l al plano de flujo es 1 J− l, 0 = med Np( −l) (17.39) 4 ̃ 1 Jl, 0 = med Np ̃ ( l) (17.40) 4 El flujo total es la diferencia entre las Ecuaciones (17.39) y (17.40): J Total 1 ⎛ ⎛ dp⎞ = med Ñ ⎜−2l ⎝ ⎜ dz ⎠ ⎟ 4 ⎝ 1 =− 2 1 =− 2 med med z= 0 ⎛ x ⎞ N dmv ( ) ̃l ⎝ ⎜ dz ⎠ ⎟ ⎛ x Ñl m dv ⎞ ⎝ ⎜ dz ⎠ ⎟ ⎞ ⎟ ⎠ z= 0 z=0 (17.41) FIGURA 17.12 Parametrización del modelo de caja usado para deducir la viscosidad. Los planos de velocidad de partículas idénticas (v x ) se indican por los planos grises, con la magnitud de la velocidad dada por las flechas. El gradiente de momento lineal produce una transferencia de momento desde las regiones de alto momento (plano gris oscuro) a regiones de bajo momento (indicado por el plano de gris claro). El plano localizado en z = 0 es la posición en la que está determinado el flujo del momento lineal en respuesta al gradiente. x Flujo –λ 0 λ z
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