Tesi di Laurea Controllo Adattativo con Imput Output Feedback Linearization di un Manipolatore Industriale

CAPITOLO 2
Feedback Linearization
questo implica che x(t) → 0 . Per compiti che comportano l’inseguimento di una
traiettoria desiderata x
d
(t) , la legge di controllo è:
2.15
•
( n )
(n−1)
d 0 2 n−1
ν = x − k e − k e −... − k e
dove
e(t) = x(t) − x
d
(t) è l’errore di traiettoria, converge esponenzialmente a zero in
modo tale da assicurare la stabilità del sistema.
1.2 Input-State Linearization
Consideriamo il problema del controllo dell’ingresso u per un sistema non lineare
con un solo ingresso della forma:
•
2.16 x = f (x,u)
La tecnica di input-state linearizatin risolve questo problema in due fasi. Prima, si
trova una trasformazione z=z(x) ed una trasformazione dell’ingresso u = u(x, ν )
così che le dinamiche del sistema non lineare sono trasformate in dinamiche tempo-
•
invarianti lineari ed equivalenti, nella forma di stato: z = Az + b ν . Secondo, si
usano tecniche lineari e standard per definire .
Andiamo con l’illustrare l'approccio su un semplice esempio del secondo-ordine. Si
consideri il sistema:
•
x 2x a x sin x
2.17 1 = −
1
+ ⋅
2
+
1
•
x x cos x u cos(2x )
2.18 2 = −
2 1
+ ⋅
1
Anche se il controllo lineare può stabilizzare il sistema in una piccola regione
intorno al punto di equilibrio (0,0) non è ovvio che il controllore possa stabilizzarlo
in una regione più ampia. Una specifica difficoltà è la non linearità nella prima
equazione che non può essere direttamente annullata dall'ingresso di controllo u.
Comunque, si definiscono un nuovo set di variabili di stato:
2.19
z
= x
1 1
z = ax + sin x
2 2 1
derivando le (2.19) si ricavano le nuove equazioni di stato:
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