Tesi di Laurea Controllo Adattativo con Imput Output Feedback Linearization di un Manipolatore Industriale

CAPITOLO 2
Feedback Linearization
Per ottenere una relazione diretta tra l’uscita y e l’ ingresso u, si deriva l’uscita y :
• •
2.30 y = x = sin x
2
+ (x2 + 1)x
3
si continua a derivare l’uscita fino a quando non si ricava una relazione diretta tra y
e l’ingresso u, pertanto considerata la derivata seconda:
••
2.31 y = (x2 + 1)u + f
1(x)
dove f 1 (x) è una funzione dello stato definita da:
2.32
f (x) = (x + x )(x + cos x ) + (x + 1)x
5 2
1 1 3 3 2 2 1
La (2.31) rappresenta una relazione esplicita tra y ed u. Se poniamo l’ingresso di
controllo u nella forma:
1
2.33 u = ( ν − f
1)
x + 1
dove ν è un nuovo ingresso che si deve determinare, la non linearità è cancellata.
Si ricava una relazione lineare, dove compare un doppio integratore tra l’uscita y
ed il nuovo ingresso ν :
2
2.3 y •• = ν
Il progetto di un controllore di inseguimento per questa relazione con il doppio
integratore è semplice, a causa della disponibilità di tecniche di controllo lineari.
Così che, definito l'errore di inseguimento “ e = y(t) − y (t) ” e scelto il nuovo
••
•
ingresso come: ν = y − k e − k 2 e
d
1
con k 1 e k 2 costanti positive, l'errore di traiettoria del sistema in anello chiuso è
regolato dalla seguente equazione differenziale del secondo ordine:
•• •
2.35 e+ k2 e+ k1e = 0
d
che rappresenta
la dinamica dell’errore stabile governata da una legge di tipo
•
esponenziale. Perciò, se le condizioni iniziali sono: e(0) = e(0) = 0 (errore di
posizione e di velocità nullo per t=0), ne segue che e(t) ≡ 0, ∀t ≥ 0 , (l’errore di
traiettoria a regime nullo) è realizzato l’inseguimento
converge a zero esponenzialmente.
perfetto; altrimenti, e(t)
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