Geometria - Autistici

Poligono regolare 105
che, sostituendo il valore di , si esprime in funzione di :
L'apotema può essere espresso anche in funzione della lunghezza del lato e del numero di lati del poligono regolare.
Infatti, applicando la formula trigonometrica al triangolo rettangolo formato dall'apotema, metà lato del poligono ed
il raggio della circonferenza circoscritta, abbiamo:
Perimetro
Il perimetro è definito come la lunghezza della spezzata che delimita il poligono. Detti il numero di angoli (o
lati) e la lunghezza del lato, esso è calcolabile attraverso la formula:
Il lato , può essere calcolato in funzione della lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta e del numero di
lati. Infatti, applicando la formula trigonometrica al triangolo rettangolo formato dall'apotema, metà lato del poligono
ed il raggio della circonferenza circoscritta, abbiamo:
Il lato , può essere calcolato anche in funzione della lunghezza dell'apotema e del numero di lati. Infatti,
considerando sempre lo stesso triangolo precedente ed applicando la formula trigonometrica appropriata, abbiamo:
Area: formula generalizzata
Poiché ogni poligono regolare è suddivisibile in triangoli isosceli uguali tra loro, per calcolare la superficie del
poligono è sufficiente calcolare la superficie di un triangolo e moltiplicarla per .
Dunque:
Poiché dove e sono rispettivamente la base e l'altezza del triangolo, si può scrivere:
Considerando che nel caso del poligono regolare: possiamo sostituire in questo modo:
Giustificando la seconda uguaglianza con la formula del perimetro. La grandezza , ovvero l'altezza di ciascuno
dei triangoli rettangoli che compongono il poligono regolare, è chiamata apotema ( ). In conclusione:
Sostituendo in questa formula, l'equazione dell'apotema, si può esprimere l'area del poligono regolare in funzione
della lunghezza del lato e del numero di lati; infatti, ricordando che , si ha: