Geometria - Autistici

Varietà algebrica 163
Varietà algebrica
Una varietà algebrica è l'insieme degli zeri di una famiglia di polinomi, e costituisce l'oggetto principale di studio
della → geometria algebrica. Tramite il concetto di varietà algebrica è possibile costituire un legame tra l'→ algebra
e la → geometria, che permette di riformulare problemi geometrici in termini algebrici, e viceversa. Tale legame è
basato principalmente sul fatto che un polinomio complesso in una variabile è completamente determinato dai suoi
zeri: il teorema degli zeri di Hilbert permette infatti di stabilire una corrispondenza tra varietà algebriche e ideali di
anelli di polinomi.
Definizione
Sia un campo algebricamente chiuso, l'anello dei polinomi su in variabili, e
una famiglia di polinomi dell'anello. Il sottoinsieme di formato dai punti che annullano tutti i
polinomi di è una varietà algebrica:
Varietà affini
Dato il campo algebricamente chiuso e uno → spazio affine di dimensione su , i polinomi dell'anello
sono funzioni a valori in definite su .
Presa una famiglia di polinomi , l'insieme dei punti di per cui le funzioni di sono
tutte nulle
è detto insieme algebrico affine. Se non può essere scritto come unione propria di due insiemi algebrici affini,
è detto varietà affine.
Proprietà
• Sulle varietà affini è possibile definire una topologia naturale definendo come insiemi chiusi tutti gli insiemi
algebrici (topologia di Zariski).
• Dato , è l'ideale formato da tutte le funzioni che si annullano su :
Si definisce anello delle coordinate di l'anello quoziente . Il grado di
trascendenza del campo delle frazioni di su è detto dimensione di .
• Un insieme algebrico affine è una varietà se e solo se è un ideale primo, ovvero se e solo se l'anello
delle coordinate di è un dominio di integrità.
• Ogni insieme algebrico affine può essere scritto in maniera unica come unione di varietà algebriche.
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