Geometria - Autistici

Piano (geometria) 133
Piano (geometria)
Il piano è un concetto primitivo della → geometria, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile,
non necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito (gli altri concetti primitivi della
geometria sono il punto e la retta). Tuttavia, è possibile dare alcune descrizioni del piano servendosi degli strumenti
forniti dal calcolo vettoriale e dalla → geometria differenziale. Rispettivamente:
• Inteso come luogo geometrico di punti, il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti
individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P.
• Dal punto di vista della → geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature
fondamentali nulle.
Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide
e dagli assiomi di Hilbert.
Piani nello spazio tridimensionale
L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale R 3 è del tipo:
,
in cui sono i parametri direttori del piano, con non tutti nulli.
Equazione cartesiana
Piano passante per tre punti
Siano , e tre punti dello spazio non allineati. Allora per questi tre punti
passa uno ed un solo piano. Per esprimere in modo esplicito la formula cartesiana del piano è sufficiente fare il
seguente conto:
cioè annullare il determinante di una matrice i cui coefficienti sono dipendenti dai punti per cui passa il piano e da
quelle che saranno le 3 variabili della formula finale.
Sviluppando il determinante con la regola di Laplace, si ottiene:
Posizioni reciproche di due piani
Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei
coefficienti ha Rango due il sistema è compatibile e risulta ammettere infinito a uno soluzioni, che rappresentano
tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni
ammesse sono infinito a due, e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (Parallelismo Improprio). Se infine la
matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile, e i piani sono paralleli e distinti
(Parallelismo Proprio).
Si può inoltre calcolare l'angolo diedro fra due piani: basta calcolare l'angolo fra i due vettori normali
(perpendicolari) ai due piani considerati utilizzando le formule del → prodotto scalare.