Geometria - Autistici

Piano proiettivo 173
Modelli matematici
Un modello di piano proiettivo può essere definito matematicamente in vari modi che forniscono strutture isomorfe.
Sfera quozientata
Un modello di piano proiettivo si ha considerando la sfera S 2 immersa nello spazio euclideo tridimensionale in cui
• definiamo punti proiettivi del piano proiettivo le coppie di punti antipodali sulla sfera.
• definiamo rette proiettive del piano proiettivo tutti i cerchi massimi che giacciono sulla sfera (la definizione è
consistente con la precedente poiché un cerchio massimo contiene l'antipodale di ogni suo punto).
Questo equivale a considerare sulla sfera la relazione di equivalenza ~ che identifica i punti antipodali:
e definire il piano proiettivo come lo spazio topologico quoziente
È possibile definire una applicazione che
manda il piano proiettivo P 2 privato di una
retta nel piano euclideo in modo tale da
mandare rette proiettive in rette euclidee. A
tale scopo consideriamo nello spazio
tridimensionale il piano p tangente alla sfera
S 2 nel "polo sud". Possiamo associare alle
coppie di punti antipodali sulla sfera (che
sono punti del piano proiettivo) un punto del
piano p individuato dall'intersezione del
piano con la retta congiungente i due punti
antipodali. Intuitivamente è come se
stessimo guardando l'ombra prodotta sul
piano da questa coppia di punti quando una
sorgente di luce disposta nel centro della
sfera. I cerchi massimi sulla sfera
(corrispondenti a rette proiettive) vengono
mandate tutte in rette sul piano p.
La sorgente di luce disposta al centro della sfera proietta il piano proiettivo su un
piano mandando rette proiettive generiche in rette e mandando all'infinito la retta
proiettiva parallela al piano.
Questa applicazione manda tutti i punti del piano proiettivo sul piano p fatta eccezione per i punti appartenenti al
cerchio massimo parallelo al piano (che in qualche senso vengono mandati all'infinito). Se omettiamo tale cerchio
dal dominio l'applicazione così definita è una corrispondenza biunivoca che fa corrispondere rette del piano a rette
proiettive sul piano proiettivo. Questa costruzione spiega in che modo il piano proiettivo possa essere visto come
un'estensione del piano euclideo.