Geometria - Autistici

Geometria 63
Geometria affine
In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi,
di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare
in modo efficace l'→ algebra lineare, si considerano infatti solo
sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle
relazioni eleganti fra i sottospazi, come la formula di Grassmann.
Nella → geometria affine il ruolo predominante dell'origine è
abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere
paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In
particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine
è considerato (fino alla scoperta della relatività ristretta) come lo
strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni
spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o
punti privilegiati.
Geometria algebrica
Due piani nello spazio sono paralleli oppure si
intersecano in una retta, come in figura.
Dal XIX secolo in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di
"abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà
fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si
aggiungono i "punti all'infinito" (creando così la → geometria proiettiva), e si fanno variare le coordinate di un punto
non solo nei numeri reali, ma anche in quelli complessi.
La geometria proiettiva è la geometria "vista da un occhio". In questa
geometria due rette si incontrano sempre.
Geometria proiettiva
La → geometria proiettiva nasce come strumento
legato al disegno in prospettiva, e viene formalizzata
nel XIX secolo come un arricchimento della geometria
cartesiana. La geometria proiettiva include i "punti
all'infinito" ed elimina quindi alcune casistiche
considerate fastidiose, come la presenza di rette
parallele.
In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti
differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in
questo nuovo contesto.
La geometria proiettiva è anche un esempio di compattificazione: similmente a quanto accade con la proiezione
stereografica, aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventa compatto, cioè "limitato", "finito".