Geometria - Autistici

Algebra commutativa 53
• anello locale
• valutazione
• anello noetheriano
• teorema della base di Hilbert
• spettro di un anello
• 13-XX, sezione dello schema di classificazione MSC 2000
Bibliografia
• (EN) M.F. Atiyah, I.G. Macdonald (1969) : Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing
Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.
• (EN) Robert Gilmer (1972) : Multiplicative ideal theory, Pure and Applied Mathematics, No. 12. Marcel Dekker,
Inc., New York.
• (EN) Irving Kaplansky (1974): Commutative rings, The University of Chicago Press, Chicago, Ill.-London.
• (EN) Hideyuki Matsumura (1989): Commutative ring theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-36764-6
• (EN) David Eisenbud (1995): Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer, ISBN
0-387-94269-6
• (EN) David Cox, John Little, Donald O'Shea (1997): Ideals, Varieties, and Algorithms. An Introduction to
Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-94680-2
Algebra universale
L'algebra universale è il settore della → matematica che studia le idee comuni a tutte le strutture algebriche. Essa si
collega ai vari argomenti della sezione 08-XX dello schema di classificazione MSC2000.
Idee di base
Dal punto di vista dell'algebra universale, una algebra (o algebra astratta) è un insieme A dotato di un insieme di
operazioni su A. Una operazione n-aria su A è una funzione che accetta n elementi di A e ritorna un singolo
elemento di A. Così, una operazione 0-aria (o operazione nullaria) è semplicemente un elemento di A, o una
costante, spesso indicata con una lettera come a. Una operazione 1-aria (o operazione unaria) è semplicemente una
funzione da A a A, spesso indicata con un simbolo posto davanti al suo argomento, come ~x. Una operazione 2-aria
(o operazione binaria) è spesso indicata come un simbolo posto in mezzo ai suoi argomenti, come x * y. Le
operazioni di arità superiore o indeterminata sono solitamente indicate da simboli di funzione, con gli argomenti
posti sotto parentesi e separati da virgole, come f(x,y,z) o f(x 1 ,...,x n ). In alcuni casi si ammettono operazioni
infinitarie, come , permettendo alla teoria dei reticoli completi di essere studiata.
Quando le operazioni sono state specificate, la natura dell'algebra può essere ulteriormente limitata da assiomi, che
nell'algebra universale devono prendere la forma di equazioni. Un esempio è l'assioma associativo per un'operazione
binaria, dato dall'equazione x * (y * z) = (x * y) * z. L'assioma è considerato valido per tutti gli elementi x, y, e z
dell'insieme A.
Secondo Yde Venema, "l'algebra universale può essere vista come una branca speciale della teoria dei modelli, dove
ci occupiamo di strutture aventi solo operazioni (cioè, non relazioni), e nelle quali il linguaggio che usiamo per
parlare di queste strutture usa solo equazioni." In altre parole le strutture sono tali che possono essere definite in ogni
categoria dotata di prodotto finito.