Geometria - Autistici

Geometria differenziale 186
Oggetto intrinseco
I lavori di Bernhard Riemann hanno introdotto una definizione più intrinseca di varietà. Una varietà può essere
definita oggi come oggetto intrinseco, non necessariamente contenuto in uno spazio euclideo: questo risultato è il
frutto di un percorso di astrazione che ha coinvolto molti enti geometrici nel XX secolo, come le → varietà
algebriche e gli spazi topologici.
La rappresentazione "intrinseca" descrive le proprietà geometriche della varietà "dall'interno": non c'è bisogno di
"uscire" dalla varietà per parlare di geodetiche, → distanza, curvatura. Questa astrazione è molto utile ad esempio in
relatività generale, perché permette di descrivere l'universo dall'interno, senza la creazione artificiale di un
"contenitore più grande".
La rappresentazione intrinseca descrive le proprietà della varietà che non dipendono dall'ambiente in cui questa è
raffigurata. Si definiscono varietà più complesse come la bottiglia di Klein (una superficie, cioè una varietà di
dimensione 2) senza l'ausilio di uno spazio che le contenga.
Curve e superfici nello spazio
Lo studio delle curve e superfici nello spazio tridimensionale ha avuto una posizione predominante nella geometria
differenziale fino a tutto il XIX secolo. Il comportamento di una curva nello spazio (e più generalmente in uno
spazio euclideo con un qualsiasi numero di dimensioni) è descritto dal sistema di Frenet: un sistema di riferimento
che si muove lungo la traiettoria. Le quantità che caratterizzano il modo in cui la curva cambia traiettoria sono le
curvature: in 3 dimensioni le curvature sono due, chiamate semplicemente curvatura e torsione.
Tensori e curvatura
La curvatura di una varietà differenziale è codificata tramite un oggetto matematico molto complesso, il tensore. Un
tensore è un oggetto che generalizza la matrice da 2 a più dimensioni, molto utile per definire una struttura su una
varietà. Il tensore che definisce la curvatura della varietà è il tensore di Riemann. Una versione semplificata di
questo è il tensore di curvatura di Ricci. Il calcolo tensoriale fornisce numerosi strumenti per manipolare i tensori.
Bibliografia
• (EN) George Salmon A treatise on the analytic geometry of three dimensions [1] (Dublin : Hodges-Smith, 1862)
• (FR) Gaston Darboux Cours de Géometrie [2] (Parigi : Gauthier-Villars, 1894-1917 )
• (FR) Gaston Darboux Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul
infinitésimal (4 vols.) [3] (Paris : Gauthier-Villars, 1887-1896)
• (EN) Luther Pfahler Eisenhart A treatise on the differential geometry of curves and surfaces [4] (Boston: Ginn &
co., 1909)
• Luigi Bianchi Lezioni di geometria differenziale (3 vol.) [5] (Pisa : E. Spoerri, 1922)
• (EN) Barrett O'Neill (1997): Elementary differential Geometry, 2nd edition, Academic Press, ISBN
0-12-526745-2
• (EN) Peter Petersen (1997): Riemannian Geometry, Springer, ISBN 0387982124
• (EN) Richard W. Sharpe (1997): Differential geometry. Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program,
Springer, ISBN 0-387-94732-9
• (EN) Jürgen Jost (1998): Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2nd edition, Springer, ISBN
3540636544