Geometria - Autistici

Geometria sferica 209
3. i tre lati;
4. i tre angoli.
• Teorema di Pitagora
Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno
[3]
dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti:
Facendo lo
sviluppo in serie al secondo ordine delle funzioni trigonometriche, si ottiene l'espressione universalmente nota del
→ Teorema di Pitagora in geometria euclidea:
• Area di un poligono sferico
L'area di un poligono sferico di n lati è:
La sua dimostrazione si basa sulla possibilità di scomporre un poligono sferico in triangoli.
• Formula di eulero
Dato un poliedro sferico convesso con V vertici, E spigoli ed F facce, vale:
V-E+F=2.
• Tutte le perpendicolari ad una retta concorrono in due punti, punti antipodali.
• Due punti antipodali dividono la retta in due parti congruenti.
• Due punti antipodali dividono in due parti congruenti tutte le rette che passano per essi.
• Tutte le rette sono congruenti.
.
• Dati quattro punti distinti A, B, C, D di una stessa retta, vale al più una delle seguenti relazioni: S(AB|CD),
S(AC|BD), S(AD|BC).
• In un triangolo rettangolo l'angolo opposto ad uno dei due lati dell'angolo retto è acuto, ottuso o retto a seconda
che tale lato è minore, maggiore o congruente all'altro lato dell'angolo retto.
Varietà sferiche
Oltre alla sfera bidimensionale, altri spazi hanno una geometria
sferica: questi spazi vengono denominati varietà sferiche. La
geometria sferica è data formalmente da una struttura di varietà
riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a 1.
I modelli base di varietà sferiche sono le sfere di dimensione
arbitraria (ad esempio la sfera tridimensionale ). Tutte le altre
varietà sferiche hanno la struttura locale di una sfera, ma possono
avere una diversa topologia globale: tra questi ci sono gli → spazi
proiettivi, ottenuti identificando i punti antipodali di una sfera, che
non sono orientabili in dimensione pari. In dimensione
ci sono anche gli spazi lenticolari.
Triangolo sferico