Geometria - Autistici

Trasformazione di Möbius 180
Trasformazione di Möbius
In → geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione
dove e sono numeri complessi con .
La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della → geometria proiettiva e
dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il
nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.
Definizione
Una trasformazione di Möbius è una funzione
definita sulla sfera di Riemann
della forma
con determinante diverso da zero
Automorfismi della sfera di Riemann
Esempi
La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di
Riemann. Valgono in particolare le relazioni
Rappresentazione tramite matrici
La trasformazione è determinata dalla matrice
Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare
composto da tutte le matrici complesse invertibili .
La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due
trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici e , è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla