Geometria - Autistici

Prodotto scalare 143
Una base ortogonale di vettori di V è una base di vettori a due a due ortogonali. Una base è ortogonale se e solo se la
matrice associata al prodotto scalare rispetto a questa base è diagonale.
Trasformazione ortogonale
Una trasformazione ortogonale è una applicazione lineare invertibile T:V → V in sé che preserva il prodotto
scalare, cioè tale che
Teorema di Sylvester
Se K = R è il campo dei numeri reali e V ha dimensione n, il teorema di Sylvester reale dice che per ogni prodotto
scalare esiste una base ortogonale v 1 , ..., v n tale che per ogni i il numero è uguale a 0, 1 oppure -1.
Quindi la matrice associata è una matrice diagonale avente sulla diagonale solo i numeri 0, 1, e -1, in ordine sparso.
Siano i 0 , i + e i - rispettivamente il numero di volte che compaiono i numeri 0, 1 e -1 sulla diagonale: la terna (i 0 , i + e
i - ) è la segnatura del prodotto scalare.
La segnatura è un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali con prodotto scalare sono isometrici se e
solo se hanno la stessa segnatura.
Il Teorema di Sylvester complesso dice invece che esiste sempre una base ortogonale v 1 , ..., v n tale che per ogni i il
numero è uguale a 0 oppure 1. In questo caso, il rango è un invariante completo per l'isometria: due spazi
vettoriali complessi con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno lo stesso rango.
Endomorfismo simmetrico
Un endomorfismo T:V → V è simmetrico (o autoaggiunto) rispetto al prodotto scalare se
per ogni coppia di vettori v e w in V. Un endomorfismo è simmetrico se e solo se la matrice associata rispetto ad una
qualsiasi base ortonormale è simmetrica.
Esempi
• Il prodotto scalare canonico fra vettori del → piano o dello spazio euclideo è un prodotto scalare definito positivo.
• Sia C([0, 1]) lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo [0,1], a valori reali. Definiamo un prodotto
scalare su C[0, 1] ponendo: :
Questo prodotto scalare è definito positivo, perché l'integrale di f 2 è strettamente positivo se f non è costantemente
nulla.
• Definiamo sullo spazio vettoriale M([0, 1]) delle funzioni misurabili a valori reali lo stesso prodotto scalare del
punto precedente. Qui il prodotto scalare è solo semidefinito positivo: infatti se f è la funzione che vale 1 su 1/2 e
0 su tutto il resto, l'integrale di f 2 è zero (f è isotropa).