Geometria - Autistici

Spazio affine 150
Spazio affine
Lo spazio affine è una struttura → matematica strettamente collegata a quella di → spazio vettoriale. Intuitivamente,
uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l'origine,
"centrale" e "privilegiato" rispetto agli altri.
Lo spazio affine tridimensionale è lo strumento naturale per modellizzare lo spazio della fisica classica, le cui leggi
sono infatti indipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento. Come gli spazi vettoriali, gli spazi affini vengono
studiati con gli strumenti dell'→ algebra lineare.
Definizione
La nozione di spazio affine può essere definita in molti modi equivalenti. Una possibile definizione è la seguente.
Uno spazio affine è un insieme di elementi chiamati punti affini (o semplicemente punti), dotato di una funzione
a valori in uno → spazio vettoriale su un campo che soddisfi i requisiti seguenti:
1. per ogni punto fissato, la mappa che associa a il vettore è una biiezione da in ;
2. per ogni terna di punti , , vale la relazione
L'immagine è chiamata vettore applicato da in ed è indicata generalmente con il simbolo seguente
o, più brevemente, con .
Definizione alternativa
La definizione seguente è equivalente alla precedente. Uno spazio affine è un insieme dotato di una funzione
dove è uno spazio vettoriale su un campo , generalmente indicata con il segno + nel modo seguente
tale che
1. per ogni punto fissato, la mappa che associa al vettore il punto è una biiezione da in ;
2. per ogni punto in e ogni coppia di vettori in vale la relazione
Le due definizoni sono collegate dalla relazione
Due elementi di questa relazione determinano il terzo. Ad esempio, è il punto raggiunto applicando il vettore
a , mentre è l'unico vettore che "collega" i due punti e .