Geometria - Autistici

Criteri di congruenza dei triangoli 72
generalizzazione del secondo criterio di congruenza.
Viene chiamato anche Criterio ALA (Angolo-Lato-Angolo).
Dimostrazione
Si considerino i triangoli ABC e A'B'C'. Per ipotesi, BC e B'C' sono congruenti, come gli angoli in B e in B'.
Ora ammettiamo, per assurdo che i due triangoli non siano congruenti. Allora AB > A'B' o AB < A'B'. Si consideri il
caso in cui AB > A'B' (sarebbe analogo considerare l'altro caso.) Allora esiste un punto P interno ad AB tale che BP
sia congruente ad A'B'.
I triangoli PBC e A'B'C' avrebbero:
• PB e A'B' congruenti;
• BC e B'C' congruenti (per ipotesi);
• Gli angoli in B e in B' congruenti (sempre per ipotesi);
Così, per il primo criterio, PBC sarebbe congruente ad A'B'C'. Allora l'angolo sarebbe congruente con
quello in C'. Ma, per ipotesi, anche è congruente all'angolo in C'. Così per la proprietà transitiva della
congruenza, sarebbe congruente con .
Questo è assurdo: P è interno ad AB, il segmento CP è interno all'angolo , così dovrebbe essere
minore di . Non essendo la tesi falsa, essa è vera.
C.V.D.
Generalizzazione
Solo nella geometria euclidea, è possibile generalizzare il secondo criterio in questa forma: Due triangoli sono
congruenti se hanno ordinatamente due angoli e un lato congruenti.
Questo perché nel caso un angolo non fosse adiacente al lato, l'angolo mancante si può facilmente ricavare perché la
somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale all'angolo piatto e si ricadrebbe così nel secondo criterio.
Terzo criterio
Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamente congruenti
In Elementi I, 8 Euclide dà una dimostrazione di questo teorema utilizzando il movimento meccanico. Come avviene
per la proposizione I, 4 (primo criterio di congruenza), la dimostrazione euclidea non è valida, ma la matematica
moderna si avvale di un'altra dimostrazione per la quale questo criterio non va considerato postulato.
Viene chiamato anche Criterio LLL (Lato-Lato-Lato).
Dimostrazione
Siano ABC, A'B'C' due triangoli con AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C'. Si costruisca, nel semipiano creato da AB
non contenente C un angolo uguale a quello in A' e il lato AA congruente a A'B' e si tracci la congiungente AC. Ora
i triangoli A'B'C' e AAB hanno due lati congruenti, e congruente l'angolo tra essi compreso. Dunque sono
congruenti per il primo criterio. In particolare, A'C'=AC da cui, per la proprietà transitiva, AC=AC. Si tracci quindi
la congiungente AA. Essendo il triangolo BAA isoscele (esso ha infatti due lati uguali), gli angoli BAA e BAA sono
congruenti. Per lo stesso motivo CAA=CAA. Ma quindi BAA+CAA=BAA+CAA, perché somme di angoli
congruenti. I triangoli ABC e ABC hanno allora due lati ed un angolo congruenti, quindi sono congruenti per il
primo criterio. Ma anche A'B'C' è congruente ad ABC, quindi, per la proprietà transitiva, ABC = A'B'C'.
C.V.D