Geometria - Autistici

Geometria 64
Varietà algebriche
La geometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei polinomi
e delle loro radici: gli oggetti che tratta, chiamati → varietà algebriche,
sono gli insiemi dello → spazio proiettivo, → affine o euclideo definiti
come luoghi di zeri di polinomi.
Nel XX secolo il concetto di varietà algebrica assume un'importanza
sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di
varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati
impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare
nel campo dei numeri complessi: in questo caso, grazie al teorema
fondamentale dell'algebra, un polinomio ha sempre delle radici.
Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i
numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso) ha come
conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto
generale. Ad esempio, il teorema di Bézout asserisce che due curve di
Varietà algebriche definite da alcuni semplici
polinomi nel piano: due circonferenze, una
parabola, una iperbole, una cubica (definita da
un'equazione di terzo grado).
grado e nel piano che non hanno componenti in comune si intersecano sempre in punti, contanti con
un'opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il "piano" sia proiettivo e complesso. In particolare, è
certamente falso nell'ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi
necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte.
Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le
curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come "sezioni" di oggetti più grandi, contenuti nel
piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo "mondo più vasto e perfetto" si riflettono nel piano
cartesiano, pur in modo meno elegante.
Come lo studio della → geometria affine fa largo uso dell'→ algebra lineare, quello delle varietà algebriche attinge a
piene mani dall'→ algebra commutativa.
Geometria differenziale
Un punto di sella ha curvatura negativa
La → geometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici tramite
l'→ analisi. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da
polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio curve
e superfici, cioè oggetti che, visti localmente con una lente di
ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza
spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che
all'uomo sembra piatta, benché non lo sia.
Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione di →
varietà differenziabile. La sua definizione non necessita neppure di
"vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella
relatività generale per descrivere intrinsecamente la forma
dell'universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà
fondamentale, la curvatura, che viene misurata tramite oggetti
matematici molto complessi, come il tensore di Riemann. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie,
questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di curvatura gaussiana per le superfici.