Geometria - Autistici

Spazio affine 151
Esempi
Spazio vettoriale
Ogni spazio vettoriale è uno spazio affine, avente come spazio vettoriale associato stesso. La mappa è
definita come
mentre la funzione è la semplice somma fra vettori in .
Sottospazi affini
Definizione
Un sottospazio affine di è un sottoinsieme del tipo
dove è un punto fissato, che risulta appartenere al sottospazio.
Giacitura
Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come . In tutte queste
rappresentazioni, può variare (può essere un punto qualsiasi di , a conferma che in geometria affine non ci
sono "punti privilegiati"), ma risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di è chiamato giacitura di
. La giacitura è definita intrinsecamente come
La dimensione di è definita come la dimensione di .
Sottospazio generato
Il sottospazio affine generato da alcuni punti in è il più piccolo sottospazio che li contiene.
Sottospazi affini in spazi vettoriali
Per quanto detto sopra, uno spazio vettoriale è anche affine, e quindi abbiamo definito anche la nozione di
sottospazio affine di : in questo caso, un sottospazio affine è il risultato di una traslazione di un sottospazio
vettoriale lungo il vettore .
Relazioni
Due sottospazi affini sono detti:
• incidenti quando hanno intersezione non vuota,
• paralleli quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra,
• sghembi quando l'intersezione è vuota e le due giaciture si intersecano solo nell'origine,
• esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi
hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un
sottospazio più grande dell'origine.
Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi
dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La → geometria proiettiva risolve questo problema (cioè
recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio dei "punti all'infinito".