Geometria - Autistici

Geometria affine 149
Geometria affine
In → matematica, la geometria affine è la geometria che studia gli → spazi affini. Tratta essenzialmente quegli
argomenti della → geometria euclidea che possono essere sviluppati senza l'uso dei concetti di angolo e distanza.
Occupa un posto intermedio fra la geometria euclidea e la → geometria proiettiva; in quest'ultimo caso anche la
nozione di parallelismo perde di significato. Il suo studio fa largo uso dell'→ algebra lineare.
Spazi affini
Intuitivamente, uno spazio affine è un oggetto simile ad uno → spazio vettoriale che non abbia nessun "punto
privilegiato" (l'origine).
Uno → spazio affine è un insieme E, tale che ad ogni coppia di punti p e q sia associato un vettore φ(p,q) di un
determinato → spazio vettoriale V. Nella definizione non ci sono restrizioni sul campo associato allo spazio V, che
può essere ad esempio quello dei numeri reali, o complessi.
La funzione che associa a due punti un vettore deve soddisfare un paio di assiomi, che garantiscono che, fissato un
punto qualsiasi p come origine dello spazio, i vettori φ(p,q) al variare di q formino uno spazio vettoriale isomorfo a
V.
Trasformazioni affini
Una → trasformazione affine fra due spazi affini è la composizione di una traslazione e una trasformazione lineare:
quest'ultima ha senso dopo aver fissato un punto p come origine. L'immagine di un → sottospazio affine tramite
questa trasformazione è sempre un sottospazio affine. Nel caso in cui la trasformazione sia un isomorfismo, la
dimensione del sottospazio è preservata.
Proprietà
In uno spazio affine, due sottospazi possono non intersecarsi. Ad esempio, nello spazio affine tridimensionale ci
sono rette e piani paralleli. Per questo motivo non vale la formula di Grassmann.
La geometria affine è intermedia fra la geometria degli spazi vettoriali e quella → proiettiva: in uno spazio vettoriale
i sottospazi sono costretti a passare per l'origine. Lo spazio affine viene quindi costruito per ovviare a questa
mancanza innaturale, ma in questo modo viene persa la formula di Grassmann, e in molti problemi si allunga la lista
dei casi da considerare: due rette possono essere incidenti, complanari, sghembe... Lo spazio proiettivo elimina
nuovamente fenomeni di parallelismo aggiungendo dei "nuovi punti all'infinito", senza ripristinare un "punto
privilegiato".
Applicazioni
Lo spazio affine è usato nella fisica classica come modello dello spazio tridimensionale in cui viviamo. Questo
modello non è però soddisfacente per modellizzare lo spazio per spiegare alcuni fenomeni che si sviluppano su
grandi scale, fenomeni che si studiano nella fisica relativistica.
Voci correlate
• → Spazio affine
• → Trasformazione affine
• → Geometria proiettiva