Geometria - Autistici
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Spazio proiettivo 172<br />
Definizione più astratta<br />
Lo spazio proiettivo può essere definito in modo analogo a partire da un qualsiasi spazio vettoriale su un campo<br />
:<br />
Lo spazio proiettivo associato a è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in . Cioè,<br />
dove<br />
per qualche .<br />
In questo contesto, la definizione data precedentemente corrisponde al caso in cui . In generale, lo spazio<br />
può avere anche dimensione infinita.<br />
Esiste uno strumento simile alle basi che permette di assegnare ad ogni punto di delle coordinate omogenee,<br />
nel caso in cui abbia dimensione finita . Come per gli spazi vettoriali, non esiste un modo univoco di<br />
assegnare tali coordinate: queste dipendono dalla scelta di un riferimento proiettivo, l'analogo proiettivo delle basi.<br />
Voci correlate<br />
• → <strong>Geometria</strong> proiettiva<br />
• → Coordinate omogenee<br />
• → Retta proiettiva<br />
• → Piano proiettivo<br />
• Prospettiva<br />
• Sfera di Riemann<br />
Piano proiettivo<br />
In → matematica il piano proiettivo è un'estensione del piano euclideo a cui viene aggiunta una "retta impropria"<br />
posizionata idealmente all'infinito e in modo da circoscriverlo. Esteso in questo modo il piano diventa uno spazio<br />
compatto in cui anche le rette parallele si incontrano in un unico punto e tale punto di intersezione è idealmente<br />
collocato sulla "retta impropria". La retta impropria può essere visualizzata come la retta che si vede all'orizzonte<br />
quando un piano (euclideo) viene rappresentato in prospettiva oppure può essere pensata come una circonferenza<br />
infinitamente lontana che circonda tutto il piano euclideo e i cui punti antipodali sono identificati in maniera tale che<br />
le rette parallele ad una stessa direzione abbiano tutte un unico punto di intersezione su di essa.<br />
Il piano proiettivo reale è lo spazio di linee in R 3 passante per l'origine. È una → varietà differenziabile non<br />
orientabile 2-dimensionale, vale a dire una superficie che non può essere immersa senza auto-intersecarsi. Essa ha<br />
caratteristica di Eulero pari a 1 e quindi genere unitario.<br />
In matematica il piano proiettivo si indica con P 2 .
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