Geometria - Autistici

Analisi matematica 218
L'operazione di limite
Il concetto di limite fondamentale in analisi, è stato definito
coerentemente solo nel '800 ma esso era stato compreso intuitivamente
da matematici del calibro di Wallis, Eulero, Bernoulli, Newton,
Leibniz e addirittura sembra che già Archimede l'avesse compreso
intuitivamente. Il limite è, in parole povere, un valore a cui il valore di
una funzione si avvicina sempre di più (senza necessariamente
raggiungerlo) man mano che l'argomento si avvicina a zero o a infinito
o a qualsiasi altro numero. Per esempio il limite di 1/n per n che tende
a infinito è zero. Infatti se facciamo aumentare sempre di più n, 1/n
sarà sempre più vicino a zero.
Il limite di una funzione o successione può:
Limite di una funzione, dopo un valore S la
funzione rimane confinata in un intervallo di 2
e all'infinito tende a L.
• essere un numero finito (per esempio il suddetto limite di 1/n per n tendente a infinito è uguale a 0)
• essere infinito (per esempio è chiaro che il limite di per n che tende a infinito è infinito)
• non esistere (per esempio le funzione è sempre alternativamente -1, +1, -1, +1...)
Serie
Attraverso il concetto di limite di una successione, è possibile definire la somma di un numero infinito di elementi.
Ad esempio, è possibile dare un senso all'espressione
che è uno dei tanti modi per descrivere il numero di Nepero . Una somma infinita di elementi è detta serie, e viene
generalmente indicata con
Nell'esempio sopra, .
Analogamente a quanto accade per i limiti, la somma di infiniti elementi può essere finita, infinita, o non essere
definita: questo accade ad esempio alla serie , detta serie di Grandi.
Il concetto di derivata
Il concetto di derivata occupa un ruolo fondamentale nel calcolo
infinitesimale e in tutta l'analisi matematica. Definita come limite del
rapporto incrementale, la derivata quantifica il tipo di crescita di una
funzione, ed ha applicazione in tutte le scienze.
Tramite la nozione di derivata si definiscono e studiano i concetti di
massimo e minimo di una funzione, di concavità e convessità: la
derivata è quindi uno strumento fondamentale per lo studio di una
funzione.
Tramite una lista di regole di derivazione, è possibile calcolare la
derivata di qualsiasi funzione definita combinando funzioni elementari.
Derivata in un punto (in rosso) di una funzione
Il concetto di derivata si estende anche a funzioni a più variabili, tramite la nozione di derivata parziale.