Geometria - Autistici

Rappresentazione matriciale delle coniche 117
Riduzione di una conica a forma canonica
Essendo fornita l'equazione di una conica del tipo
è possibile agire sui coefficienti, tramite gli invarianti, per ottenere la forma canonica della conica. Per forma
canonica di una conica, si intende:
• per l'ellisse: deve avere come centro l'origine degli assi cartesiani e i suoi fuochi devono essere sull'asse o
sull'asse
• per la parabola: deve avere vertice nell'origine e come asse uno degli assi cartesiani
• per l'iperbole: deve avere centro nell'origine degli assi e i fuochi devono appartenere all'asse o all'asse .
In generale un'equazione del tipo: , fornisce una conica rototraslata
rispetto all'origine degli assi: bisogna quindi ruotare la conica (1° passo) e poi traslarla fino a portare il centro o il
vertice nell'origine (2° passo).
• 1° passo: la rotazione della conica si ottiene tramite l'annullamento del coefficiente di , cioè .
Dopo questa operazione, la conica si riduce nella forma , in cui e
si ottengono nel seguente modo: bisogna diagonalizzare la matrice
e si otterrà la matrice
con e autovalori della matrice diagonale.
e saranno quindi i coefficienti del termini quadratici dell'equazione della conica. Naturalmente, nel caso della
parabola, sarà nullo o il coefficiente di oppure quello di , in quanto nell'equazione è presente un solo termine
quadratico.
• 2° passo: con la traslazione, si ottiene un'equazione del tipo: in cui e sono i
valori ricavati con il passo precedente, mentre si ottiene nella maniera seguente: se la conica è un'ellisse o
un'iperbole,
mentre se la conica è una parabola,
in cui , e sono gli invarianti cubico, quadratico e lineare.