Geometria - Autistici

Coordinate omogenee 178
Esempi
Dimensione 1
Ogni punto della → retta proiettiva è scrivibile come coppia
diversa da . Se è diverso da zero, è possibile esprimere lo stesso punto come
.
D'altra parte, se l'altro valore non può essere nullo, ed è possibile esprimere lo stesso punto come
Ne segue che i punti di sono esattamente
.
Con questa descrizione, la retta proiettiva è l'unione di due pezzi: tutti i punti del tipo al variare di in ,
che sono in corrispondenza biunivoca con , ed il punto all'infinito .
Dimensione 2
Ogni punto del → piano proiettivo è descrivibile come tripletta
.
non nulla. Analogamente a quanto visto sopra, i punti di sono
Con questa descrizione, lo spazio proiettivo è unione di due pezzi: il primo è una copia del piano vettoriale ,
l'altro è una copia della retta proiettiva ; quest'ultima è chiamata retta all'infinito.
Carte affini e punti all'infinito
Come evidenziato dagli esempi, la scelta di coordinate proiettive per uno spazio proiettivo permette una descrizione
di questo come unione di due spazi, il primo dei punti al finito, il secondo dei punti all'infinito (o impropri), nel
modo seguente:
I punti al finito sono determinati dal vettore , che è quindi un elemento dello spazio . Quelli
all'infinito sono invece determinati dal vettore , solo a meno di moltiplicazione per scalare: sono
quindi elementi dello spazio proiettivo di dimensione più piccola .
La stessa descrizione è fattibile per ogni fissato, definendo come l'insieme dei punti la cui
i-esima coordinata è non nulla, e il suo complementare. Per ogni si ottiene quindi
dove è l'iperpiano proiettivo definito dall'equazione , ed è in naturale corrispondenza biunivoca con
. Ogni è detto carta affine.