Geometria - Autistici

Sistema di riferimento cartesiano 147
Piano cartesiano
Un sistema di coordinate cartesiano ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è
costituito da:
• l'asse delle ascisse costituisce la retta orizzontale (solitamente caratterizzata dalla lettera x);
• l'asse delle ordinate costituisce la retta verticale (solitamente caratterizzata dalla letteray);
• l'origine, cioè il punto nel quale le due rette si incontrano.
Il piano cartesiano, che viene spesso chiamato xy da nome degli assi, può essere immaginato, pensando che il piano
sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), e mettendosi in piedi in un punto: il punto sul quale si
sta rappresenta l'origine, davanti a sé si estende l'asse della ascisse e alla propria sinistra quello delle ordinate.
Il sistema costituito dalla coppia dei due assi (e implicitamente
dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una
coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata
del punto; le coordinate di un punto generico del piano o di un
punto che si pensa variabile spesso si denotano con e .
Talora il sistema dei due assi si denota con .
L'equazione rappresentata nel piano
xy rappresenta una circonferenza di raggio 2 e centrata
nell'origine.
Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo oppure . Ad esempio, i punti e
hanno la stessa ascissa, mentre i punto e hanno la stessa ordinata.
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani
progressivi in senso antiorario:
• I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
• II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;
• III quadrante: simmetrico al primo rispetto all'origine;
• IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all'origine.
Il piano cartesiano permette di visualizzare funzioni di una variabile del tipo oppure equazioni di due
variabili più complicate, come ad esempio le coniche. Ciò permette di visualizzare la "forma" di equazioni oppure
risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.
Il piano cartesiano come spazio vettoriale
Per definizione, esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri
reali. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali, è un -→ spazio vettoriale. La base canonica di è
ove ed . Gli elementi di E hanno un importante significato
geometrico: sono i versori fondamentali del piano, rispettivamente e . Ciò vuol dire, per la definizione stessa di
base di uno spazio vettoriale, che il piano cartesiano è generato dai versori fondamentali e che ogni punto del piano è
esprimibile, in modo unico, come combinazione lineare dei versori fondamentali (ciò giustifica l'espressione dei