Geometria - Autistici

Prodotto scalare 138
Definizione e prime proprietà
Definizione
Il prodotto scalare di due vettori a e b del → piano, applicati sullo stesso punto, è definito come
dove |a| e |b| sono le lunghezze di a e b, e θ è l'angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si indica come a·b.
Interpretazione geometrica
Poiché |a|·cos(θ) è la lunghezza della proiezione ortogonale di a su
b, si può interpretare geometricamente il prodotto scalare come il
prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di b. Si possono
inoltre scambiare i ruoli di a e b, interpretare |b|·cos(θ) come la
lunghezza della proiezione di b su a ed il prodotto scalare come il
prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di a.
Prodotto scalare positivo, nullo e negativo
Il coseno di un angolo θ è positivo se θ è un angolo acuto (cioè
-90° 0, |b| >0 e l'angolo θ è acuto;
• nullo se |a|=0, |b|=0 oppure θ è retto;
• negativo se |a|>0, |b|>0 e l'angolo θ è ottuso.
Interpretazione geometrica del prodotto scalare
(quando B ha lunghezza unitaria)
I casi in cui θ è acuto ed ottuso sono mostrati in figura. In entrambi i casi il prodotto scalare è calcolato usando
l'interpretazione geometrica, ma il segno è differente.
In particolare, valgono inoltre le proprietà seguenti:
• se θ = 0 i vettori sono paralleli ed a·b = |a|·|b|;
• se θ = 90° i vettori sono ortogonali ed a·b = 0;
• se θ = 180° i vettori sono paralleli ma orientati in senso opposto, ed a·b = - |a|·|b|.
Se a e b sono versori, cioè vettori di lunghezza 1, il loro prodotto scalare è semplicemente il coseno dell'angolo
compreso.
Il prodotto scalare di un vettore a con se stesso a·a = |a| 2 è il quadrato della lunghezza |a| del vettore.