Geometria - Autistici

Algebra lineare 51
rango, il determinante e l'insieme dei suoi autovalori.
Uno spazio vettoriale (o spazio lineare), come concetto puramente astratto sul quale proviamo teoremi, è parte
dell'→ algebra astratta, e ben integrato in questo campo: alcuni oggetti algebrici correlati ad esempio sono l'anello
delle mappe lineari da uno spazio vettoriale in sé, o il gruppo delle mappe lineari (o matrici) invertibili. L'algebra
lineare gioca anche un ruolo importante in → analisi, specialmente nella descrizione delle derivate di ordine
superiore nell'analisi vettoriale e nella risoluzione delle equazioni differenziali.
Concludendo, si può dire semplicemente che i problemi lineari della matematica - quelli che esibiscono "linearità"
nel loro comportamento - sono quelli più facili da risolvere, e che i problemi "non lineari" vengono spesso studiati
approssimandoli con situazioni lineari. Ad esempio nell'→ analisi, la derivata è un primo tentativo di
approssimazione lineare di una funzione. La differenza rispetto ai problemi non lineari è molto importante in pratica:
il metodo generale di trovare una formulazione lineare di un problema, in termini di algebra lineare, e risolverlo, se
necessario con calcoli matriciali, è uno dei metodi più generali applicabili in matematica.
Generalizzazione e argomenti correlati
I metodi dell'algebra lineare sono stati estesi ad altre branche della matematica, grazie al loro successo. Nella teoria
dei moduli si sostituisce il campo degli scalari con un anello. L'algebra multilineare si occupa dei problemi che
mappano linearmente 'molte variabili' in un numero differente di variabili, portando inevitabilmente al concetto di
tensore. Nella teoria spettrale degli operatori si riescono a gestire matrici di dimensione infinita applicando l'→
analisi matematica in una teoria non puramente algebrica. In tutti questi casi le difficoltà tecniche sono maggiori.
Inoltre, l'algebra lineare viene a essere fondamentale per ambiti riguardanti l'ottimizzazione, in particolare la Ricerca
Operativa.
Bibliografia
• (EN) Serge Lang (2002): Algebra. Revised 3rd edition, Springer, ISBN 0-387-95385-X
• (EN) Steven Roman (1992): Advanced linear algebra, Springer, ISBN 0-387-97837-2
• (EN) de Boor, Carl, Applied Linear Algebra [1] , (University of Wisconsin-Madison, 2002).
• (EN) Rife, Susan A, Matrix Algebra. [2] (Naval Postgraduate School, Monterey, California, 1996)
• (EN) Delatorre, Anthony R. e Cooke, William K., Matrix Algebra. [3] (Naval Postgraduate School, Monterey,
California, 1998)
• (EN) Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra [4] , licenza GFDL.
• (EN) J. H. M. Wedderburn Lectures on Matrices [5] (American Mathematical Society, Providence, 1934)
ISBN:0-8218-3204-2
• (EN) Fearnley-Sander, Desmond, Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra [6] , American
Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• (EN) Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und
durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom
Magnetismus und die Krystallonomie erläutert [7] , O. Wigand, Leipzig, 1844.