Geometria - Autistici

Algebra lineare 50
Algebra lineare
L'algebra lineare è la branca della → matematica che si occupa dello studio dei vettori, → spazi vettoriali (o spazi
lineari), trasformazioni lineari, e sistemi di equazioni lineari. Gli spazi vettoriali sono un tema centrale nella →
matematica moderna; così, l'algebra lineare è usata ampiamente nell'→ algebra astratta, nella → geometria e
nell'analisi funzionale. L'algebra lineare ha inoltre una rappresentazione concreta nella → geometria analitica.
Con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici "lineari", cioè quelli in cui intuitivamente non
entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche fenomeni più complessi, non solo
della fisica ma anche delle scienze naturali e sociali, possono essere studiati "approssimando il sistema" con un
modello lineare.
Storia
La storia dell'algebra lineare moderna inizia negli anni 1843 e 1844. Nel 1843, William Rowan Hamilton (che ha
introdotto il termine vettore) inventò i quaternioni. Nel 1844, Hermann Grassmann pubblicò il suo libro Die lineale
Ausdehnungslehre (vedi i Riferimenti). Arthur Cayley introdusse le matrici (2×2), una delle idee fondamentali
dell'algebra lineare, nel 1857.
Introduzione elementare
L'algebra lineare ha le sue origini nello studio dei vettori negli spazi
cartesiani a due e tre dimensioni. Un vettore, in questo caso, è un
segmento orientato, caratterizzato da lunghezza (o magnitudine),
direzione e verso. I vettori possono essere usati per rappresentare
determinate entità fisiche come le forze, e possono essere sommati fra
loro e moltiplicati per uno scalare, formando quindi il primo esempio
di → spazio vettoriale sui reali.
L'algebra lineare moderna è stata estesa per comprendere spazi di
dimensione arbitraria o infinita. Uno spazio vettoriale di dimensione n
è chiamato n-spazio. Molti dei risultati utili nel 2-spazio e nel 3-spazio
possono essere estesi agli spazio di dimensione maggiore. Anche se
molte persone non sanno visualizzare facilmente i vettori negli n-spazi,
questi vettori o n-uple sono utili per rappresentare dati. Poiché i vettori,
come n-uple, sono liste ordinate di n componenti, molte persone
comprendono e manipolano i dati efficientemente in questa struttura.
Ad esempio, in economia, si può creare e usare vettori 8-dimensionali
(ottuple) per rappresentare il Prodotto Interno Lordo di 8 stati. Si può
Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti,
chiamati "vettori", che possono essere sommati e
riscalati.
decidere di visualizzare il PIL di 8 stati per un particolare anno, ad esempio (Stati Uniti, Gran Bretagna, Francia,
Germania, Spagna, India, Giappone, Australia), usando un vettore (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 , v 7 , v 8 ) dove il PIL di ogni
stato è nella sua rispettiva posizione.
Uno spazio vettoriale è definito sopra un campo, come il campo dei numeri reali o il campo dei numeri complessi.
Gli operatori lineari mappano elementi da uno spazio vettoriale su un altro (o su sé stesso), in modo che sia
mantenuta la compatibilità con l'addizione e la moltiplicazione scalare definiti negli spazi vettoriali. L'insieme di
tutte queste trasformazioni è anch'esso uno spazio vettoriale. Se è fissata una base per uno spazio vettoriale, ogni
trasformazione lineare può essere rappresentata da una tabella chiamata matrice. Nell'algebra lineare si studiano
quindi le proprietà delle matrici, e gli algoritmi per calcolare delle quantità importanti che le caratterizzano, quali il