Geometria - Autistici

Spazio proiettivo 169
Spazio proiettivo
In → geometria, lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo (ad esempio, la retta o il piano)
aggiungendo i "punti all'infinito". A seconda della dimensione, si parla quindi di → retta proiettiva, → piano
proiettivo, ecc.
Lo spazio proiettivo è stato introdotto nel XVI secolo per modellizzare lo spazio visto dall'occhio umano, negli studi
sulla prospettiva. Dal punto di vista geometrico, è uno spazio che presenta numerosi vantaggi rispetto a quello
euclideo o → affine: nello spazio proiettivo ci sono meno "casi particolari" da considerare (ad esempio, nel piano
due rette si intersecano sempre), e molti concetti profondi vengono espressi in modo più sintetico ed elegante.
Definizioni
Punti all'infinito
Sia lo spazio euclideo -dimensionale. Ad esempio, per questo è semplicemente il piano cartesiano.
Un "punto all'infinito" è la direzione indicata da una retta nello spazio, e da tutte le rette parallele ad essa. Quindi due
rette definiscono lo stesso punto all'infinito se e solo se sono parallele.
Lo spazio proiettivo -dimensionale è l'unione di e di tutti i suoi "punti all'infinito".
A questo punto si possono estendere allo spazio proiettivo molti concetti geometrici usuali. Ne risulterà, ad esempio,
che due rette di uno stesso piano si intersecano sempre: se hanno la stessa direzione (cioè erano parallele prima
dell'ampliamento), il loro punto di intersezione è quello all'infinito.
Rette passanti per l'origine
Una definizione come quella appena data ha però il difetto di trattare i
punti all'infinito come "punti speciali", mentre la filosofia della →
geometria proiettiva è quella di non distinguere questi punti dagli altri
in nessun modo. In effetti si può parlare sia di ampliamento proiettivo
di uno spazio affine (si ottiene lo spazio proiettivo aggiungendo i punti
all'infinito), oppure più facilmente si usa la seguente definizione.
Lo spazio proiettivo è lo spazio visto da un
occhio.
Lo spazio proiettivo -dimensionale è definito come l'insieme delle rette in passanti per l'origine.
Intuitivamente, è lo spazio che vede un occhio posizionato nell'origine. Questa definizione descrive chiaramente le
relazioni con la prospettiva.
Campo arbitrario
Le definizioni appena date possono essere estese al caso in cui lo spazio di partenza sia uno → spazio vettoriale su
un campo arbitrario, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi. Questa estensione è utile, perché
molti teoremi di → geometria proiettiva sono più potenti ed eleganti se il campo base è algebricamente chiuso come i
complessi.
Lo spazio proiettivo -dimensionale su è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in .
Cioè,
dove è la relazione d'equivalenza che identifica due punti se e solo se stanno sulla stessa retta passante per
l'origine, cioè se e solo se sono multipli: